【研究分野】計算科学

【研究領域課題番号】17H02826 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 構造保存解法 / モデル縮減 / 数値計算 / 応用数学 / 数理工学

【研究成果の概要】

本研究課題では，モデル縮減技法を採り入れた新しい構造保存解法の創出を目指した．その結果，シンプレクティックモデル縮減の有効性の検証，それを散逸系に拡張した新しい構造保存モデル縮減法の開発など，目指したとおりの構造保存的モデル縮減手法が得られた．またその過程でポアソン括弧・南部括弧に基づく新しい構造保存解法の開発，動的モード分解など新しいモデル縮減技法に関する理論解析など，いくつかの基礎的知見も得られた．

【研究の社会的意義】

数値解析，とりわけ微分方程式に対する構造保存解法は，現代の科学・工学を支える重要な技術である．本研究は，拡大を続ける現代科学・工学の諸問題に対処するために，この技術をモデル縮減の技法を採り入れて進化させるものである．これにより，従来，既存の構造保存解法では解けなかった大規模問題が解かれることが期待される．また，構造保存解法や動的モード分解などに関する基礎的知見も得られ，数値解析学の前進に寄与した．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2017-04-01 - 2021-03-31

【配分額】17,160千円 (直接経費: 13,200千円、間接経費: 3,960千円)

【研究分野】連携探索型数理科学

【研究領域課題番号】16KT0016 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 計算科学 / 量子ダイナミクス / 有機エレクトロニクス / 構造保存解法 / シミュレーション / 電子状態計算 / 数値計算 / 数理工学 / 物性

【研究成果の概要】

本研究では複雑化・巨大化し従来の設計プロセスでは限界に達しつつある次世代エレクトロニクス材料の新設計基盤の創出を目指して，数理構造の一貫性に基づく物理・数理モデル・数値計算の一体化した計算体系を探究した．その結果，構造保存的モデル縮減法の新規開発・検証，量子ダイナミクス計算のための高速な反復法の開発など，重要な要素技術開発を行ったあと，総合応用技術としてエネルギー保存型並列解法による量子ダイナミクス計算を行い本研究理念の実現性と有用性を確かめた．

【研究の社会的意義】

計算科学を援用するあらゆる現代科学・工学の場面で，問題の複雑化・巨大化に起因する計算複雑性・困難性の障害が顕在化している．従前は，高性能計算機の単調な性能向上によりその困難は先送りされたが，ムーアの法則の終焉が現実的問題となりつつある現在，数値シミュレーションには根本的な変化をもたらす必要がある．本研究は，数理科学的アプローチからこの困難を打開する一つの試みであり，エレクトロニクス材料設計のための量子ダイナミクス計算を例題にとり，従前よりも積極的に数理構造の一貫性を求めることで新しい数値計算体系を構築できることを示した．この理念は広く計算科学全体で有用である可能性があり波及効果が期待される．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2016-07-19 - 2019-03-31

【配分額】17,810千円 (直接経費: 13,700千円、間接経費: 4,110千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】20760052 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理工学 / 数値解析 / シミュレーション / 保存・散逸スキーム / 微分方程式 / 離散変分法 / 微分方程式の数値解法

【研究成果の概要】

本研究は,国産の数値手法である「離散変分法」を有限要素法に拡張することを目的としていたが,その中で以下の知見を得た.
まず,本研究において空間1次元の場合にH^1の枠組みで有限要素法版離散変分法が構成可能であること,およびいくつかの代表的な偏微分方程式(非局所作用素を含む方程式を含む)に対して適用し,実際に保存則を保つ数値計算が可能であることを示した.またこの枠組みが空間2,3次元の場合にも基本的に拡張可能であることを示した,特に2次元磁場無しのGinzburg-Landau方程式(超伝導現象を記述する方程式)の場合に,実際にスキームが動作することを確認した.また計算の高速化のため,新たに線形化する手法も開発し,その有効性を確認した.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2008 - 2010

【配分額】4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)

【研究分野】広領域

【研究領域課題番号】07309021 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 非適切問題 / 逆問題 / 解の一意性 / 解の安定性 / 非適切問題(ill-posed problems) / 適切問題(well-posed problems) / 断層撮影法 / システムの制御問題 / 非適切問題の適切クラス / 逆問題解析 / 逆問題の数値計算 / 条件安定評価 / 数値計算アルゴリズム / 弾性体逆問題 / 欠陥同定問題 / 数理工学

【研究成果の概要】

逆問題を中心とする非適切問題についての研究を行った。ここで言う非適切問題は、Hadamardの意味でのIll-posed Problemsであり、微分方程式で記述されたモデルを考えた場合特に、与えられたデータから解への対応が不連続であるか弱い意味での連続性しか示されないものを意味する。これは数値解析の立場に立てば、対象とする問題に対する数値シミュレーションにおいて安定な数値解の構成が困難であり、ひいては信頼性のある数値計算が困難であることを意味する。工学においては非破壊検査などに代表される種々の逆問題の解析がこの近年精力的に行われているが、これらの多くはHadamardの意味では非適切な問題であり、数値解析においては上述の通りの困難さが伴う。
この様な背景にあって、本研究では非適切問題に対して安定した数値解を得るための方法を、特に理論面から研究した。本研究の分担者の山本昌宏のこれまでの研究によって幾つかの逆問題では解の一意性が示ざれれば函数解析の枠組みから弱い意味での連続性が示されることが知られているので、本研究では数値解析以前の問題として「解の一意性」を本総合研究の重要テーマの一つと位置づけて研究を行った。これに対しては分担者の久保雅義によって顕著な成果が得られた。またれらの研究と並行して、代表者と分担者で様々な視点から逆問題の数値解析の研究を行い、逆問題の数値解析においては正則化法・フィルター法・多倍長計算法などが有効であることが本研究によって分かった。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1995 - 1997

【配分額】2,400千円 (直接経費: 2,400千円)

【研究分野】広領域

【研究領域課題番号】06305005 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 非適切性 / 安定性 / 数値計算 / 設計 / 偏微分方程式 / 積分方程式 / 正則化 / 適切性 / 数値解析 / 数理工学

【研究成果の概要】

本研究課題においては広領域にわたる研究組織の下で、数理工学において基礎方程式として現れる流体あるいはラプラス場、振動系における逆問題ならびに材料特性・負荷の決定に関わる逆問題についてその一意性ならびに安定性などの適切性の構造が数理解析的立場から解明された.さらに数理解析的成果から効率的かつ合理的な数値解析手法の開発にむけた研究がなされた。
工学とその関連分野における逆問題の研究に関して、数理解析と数値解析的側面の両面にわたる研究者の組織化が本研究課題の大きな特色であるが,それと同時に本研究組織には広い専門分野から分担者が加わっているので、先端工業技術などの支援のためにも機敏に適応し、総合的見地から寄与することが可能であった。
数理解析的側面においては、伝統的な数学解析の見地から不適切な問題とされて研究がなおざりにされてきたさまざまな逆問題の適切性の構造が解明された。本課題におけるこのような研究成果としては、カ-レマンによる偏微分方程式に関する古典的な評価による逆問題の解の一意性の成果および制御論によって逆問題の一意性から安定性を導く手法,非適切性成分の数学的研究などをあげることができる.逆問題の一意性に関しては,この分野の第一線にある研究者をアメリカ,ロシア,フランスなどから日本に招せいして集中的に討論・研究連絡を行なった.
これらの理論的成果は逆問題の数値解析に結合されるべきものであり、特に前項の非適切成分の研究などは信頼性のある数値解法のために応用されつつある.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1994 - 1996

【配分額】7,400千円 (直接経費: 7,400千円)