【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】06452015 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

流体力学極限 / 確率偏微分方程式 / 確率Burgers方程式 / Harnack不等式 / ランダム媒質 / 出生死滅過程 / 量子確率過程 / フラクタル / 差分作用素 / 熱核 / principal eigenfunction / 調和変換 / Dirichlet空間 / fractal / 拡散過程 / Liouville性 / マルコフ連鎖 / 再帰性 / 準安定挙動 / エントロピー / ギブス分布 / 大偏差原理 / 界面 / 反応拡散方程式 / 特異摂動 / バーガーズ方程式

【研究成果の概要】

6年度〜7年度(9月)の代表者の舟木は、まず格子上のHamilton系および格子気体モデルに対して統計力学における基本的な問題である流体力学極限を考察し、次いでランダムなノイズの加わった反応拡散方程式に対して反応項が大きくなるという特異摂動の問題を考え、方程式の解は時空の各点ごとに+1、-1に近づく。従って、二つの相+1、-1を分離するランダムな境面(界面)が現れることを示した。さらに、非線形波動を記述するBurgers方程式に対して初期値がランダムな場合について、種々の極限問題を取り扱った。また、Burgers方程式の拡散項のラプラシアンをそれの分数ベキで置き換えたとき、そのベキ数の解への影響について詳しく調べた。
市原は、色々な分野で重要な応用のある差分作用素に対し、大局的なHarnack不等式を証明し、そのポテンシャル論への一つの応用をしめした。また、数理物理などにおいて大変重要なランダム媒質の中の確率過程に関して、時間とともに変動するランダム媒質を導入し、それの下で運動する時間的非定常な出生死滅過程を定義し、このマルコフ過程の再帰性問題を、くりこみ理論の立場から論じた。特に、多次元格子上で再帰的及び非再帰的な例をそれぞれ構成した。
尾畑は、ホワイト・ノイズ超関数と量子確率過程論に関して種々の研究を行った。
熊谷は、フラクタル上の拡散過程の種々の特徴付け及びその拡散過程の熱核について長時間評価、短時間評価等を与えた。
その他の分担者も、それぞれ担当の分野で興味ある成果をおげた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1994 - 1996

【配分額】6,700千円 (直接経費: 6,700千円)

【研究分野】資源開発工学

【研究領域課題番号】02650450 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 界面 / ビスカスフィンガリング / HeleーShaw / 石油工学 / 画像処理 / レオロジ-

【研究成果の概要】

微小な隙間内において低粘性流体が高粘性流体を置換する場合、流体間界面に不安定性が生じてフラクタルなパタ-ンを形成する。本研究では、0.8mmの隙間をもつアクリル板を2枚重ねたHeleーShaw実験モデルを製作し、この上下板間の微小な隙間に満たされたある流体が他の流体により置換される時の流体界面の形状を観察した。上下のアクリル板は、各々、直径60cmと66cmの円板であり、厚さ2cmである。実験では、まずモデル内に一方の流体を満たした後、下板の中心に開けられた径1mmの注入孔より、他の流体を放射状に圧入する。本年度は、濃度200、500、1000ppmのポリアクリルアミド水溶液を水で置換する場合の流体界面の形成過程の観察を行い、流体のレオロジ-特性が流体間の界面の不安定成長に与える効果について解析した。観察デ-タを画像解析した結果、以下のことが言える。(1)低粘性のニュ-トン流体が高粘性の擬塑性流体を置換する場合は、ニュ-トン流体同士の置換の場合に比べて、その流体間界面にはより大きな不安定性が生じる。この置換パタ-ンのフラクタル次元d_fは1.69〜1.81の値であり、前年度に得られたニュ-トン流体同士の置換の場合の1.80〜1.96に比べて小さくなる。(2)流体間の界面に生じる不安定性(フラクタルなパタ-ン)は、時間経過とともに大きなフィンガ-(指状体)に成長していく。この成長過程においては、流体のレオロジ-特性が大きな影響を及ぼす。
2次元流れの数値シミュレ-ションでは、差分法を用いてラプラス方程式を解いた。計算の初期条件として、流体間の界面にゆらぎを与えることにより、流体界面の不安定性の成長過程はある程度予測できた。しかし、実験に特徴的であった樹枝状のフィンガ-の成長は再現できなかった。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1990 - 1991

【配分額】2,000千円 (直接経費: 2,000千円)