【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】14654035 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

自己相似集合 / ラプラシアン / スペクトル / 力学系 / フラクタル / 拡散過程 / 多変数複素力学系

【研究成果の概要】

木上は一般の測度-距離空間上のディリクレ形式から定義される熱核に対して、測度のvolume doubling propertyのもとでexit timeの評価とlocal Nash inequalityが熱核のある種の上からの評価と同値であることを示した。その結果を線分上のブラウン運動を自己相似測度に関して時間変更した拡散過程の熱核に応用し、測度がvolume doublingであるときに熱核の詳細な評価を得た。さらに一般のresistance formに対して、境界が有限個の点である場合のgreen関数の定義をあたえ、そのgreen関数がresistance metricに関して一様Lipschitz連続であることを示した。また、green関数を用いて測度に値を持つLaplacianの定義を与えるとともに自己相似集合上のディリクレ形式の定義域、Laplacianの定義域の関数のresistance metricに関するLipschitz連続性を考察した。
熊谷は、異なった次元を持つフラクタルを張り合わせた空間上の拡散過程の研究を行った。まずベゾフ空間のトレースの理論を援用することで2次形式の正則性を示し、熱核の短時間挙動についての詳しい評価をえた。その評価を用いて短い時間スケールでみたとき粒子が最も通りやすい経路のエネルギー関数の変分問題の解としての特徴付けを得た。さらにベゾフ空間の理論の応用として、(フラクタル集合を自然に含む)d-setと呼ばれるクラスの集合の上に飛躍型対象マルコフ過程と対応するディリクレ形式を構成した。また対応する熱核の詳細な評価を得て、過程の再帰性や粒子の軌跡のハウスドルフ次元に関する結果を得た。
宍倉は自己相似集合上のLaplacianに付随する高次元の複素力学系に関係して、高次元複素力学系の不変集合(ジュリア集合、ファツウ集合を含む)の構造、繰り込みおよび力学系に付随するポテンシャル(グリーン関数)に関する研究を行った。

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2002 - 2003

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)

【研究分野】機械工作・生産工学

【研究領域課題番号】14550096 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

超精密加工 / 微細形状 / 表面微細形状 / 測定 / マルチスケール / フラクタル / スペクトル / 白色干渉顕微鏡 / 金型 / 顕微鏡 / 分解能

【研究成果の概要】

本研究では、先端加工プロセスによって形成されるサブナノメートルオーダの表面微細形状において顕著になる表面形状のマルチスケール特性の変化を測定・評価することを目的としている。
HD表面や磁気ディスクヘッドなどの超精密加工表面を対象に、その表面微細形状の波長-振幅特性が1/fから徐々にそれ、白色に近づくことを、マルチスケール特性の変化として実験的に測定・評価し、これら表面の機能解析や、超精密加工表面の基本的構造解析に寄与することを意図している。
実際に、HD基板表面の超平滑面を走査型白色干渉顕微鏡で測定し、そのデータのフラクタル解析から、超平滑面の表面構造の変化を明らかにした。
サブナノメートルオーダのRa値を有するような領域にいたる超精密加工表面における表面形状成分の特性解明において、超精密加工表面を信頼性高く測定する手段として、走査型白色干渉顕微鏡による表面形状測定を、広範囲のスペクトルにわたって行うため、測定視野を変えた複数の測定条件で表面形状データを取得し、そのパワースペクトル密度分布を解析することにより、超精密加工表面の表面構造の特徴を解析した。
その結果、サブナノメートルRa値を有する表面において、そのパワースペクトル密度分布の傾斜は、Ra値の減少に伴い徐々に緩やかなものとなり、Fractal解析においては、その次元が計算上2を越えるような領域のものまで出現した。これは、Fractal領域を超えて、白色領域に近づく傾向を示すものとして注目に値する結果である。
本研究の結果から、振幅が2〜3nm(PV値)の加工表面は、一般の機械加工表面に比べ、かなりスペクトル分布が白色化することが確認できた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2002 - 2003

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】09304022 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

流体力学極限 / Wiener汎関数 / Dirichlet形式 / 大偏差原理とエントロピー / フラクタル / スペクトルの漸近挙動 / ブラウン運動と酔歩 / 雑音の同型問題 / エントロピー / 大偏差原理 / 確率過程 / 確率解析 / 漸近挙動 / エルゴード性 / スペクトル / データ圧縮

【研究成果の概要】

本研究では3年間に渡り,確率解析、流体力学極限、エルゴード理論など確率論の諸分野の研究を推進し、順調な研究成果を挙げると共に、2,3の新しい動向へも寄与した。
確率解析においては、会田、重川を中心とした対数ソボレフ不等式など、無限次元空間上の関数空間における不等式の役割の認識の深化、および、谷口、松本を中心とした指数型汎関数に対する漸近挙動の研究の進展がとくに顕著であった。また、長田の仕事など、ディリクレ形式の理論に基づく確率解析の一般化という方向性も見逃せない動向である。
流体力学極限は、舟木、内山らを中心として、より現実的な方程式の解明というより困難な状況下で着実な成果を挙げると共に、その中から上記ディリクレ形式論における結果との対比という問題意識が鮮明になり、今後の進展が期待される。
エルゴード理論関係では、盛田による相関関数の研究などの成果を得た。なお、平成9年度に企画した情報理論など周辺分野との勉強会は、韓氏による情報理論における大偏差原理の研究などの波及効果をもたらしている。
古典的な理論、手法の現代的な再生は当初掲げた目標のひとつであった。これに関しては、熊谷らのフラクタル集合上の解析、厚地のネヴァリンナ理論への確率論的接近、濱名の酔歩の汎関数の精密評価、白井らのグラフのスペクトルでの成果が顕著である。
また、長井たちは確率制御理論の手法を援用することにより数理ファイナンスに新しい視点をもたらし、杉田、高信らは確率論的手法を駆使して擬似乱数の理論に貢献している。
さらに最終年度、渡辺信三氏のご尽力により、黒色雑音など雑音の同型問題という、将来大きく発展する可能性の大きい新動向を照会する機会がもてたことは幸いであった。
最後に、外国旅費の制限緩和により、海外の研究者との共同研究が大変スムーズになり、研究の推進に大いに役立ったことを記しておきたい。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】21,700千円 (直接経費: 21,700千円)

【研究分野】熱工学

【研究領域課題番号】01850049 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

熱ふく射 / 熱物性 / 計測 / スペクトル / 表面被膜 / 表面あらさ / フラクタル / 高温

【研究成果の概要】

本研究では,広領域スペクトル法を用いる高温表面の温度・性状のインプロセス計測法の開発のために,つぎの一連の研究を行った: 1.高速スペクトル計測装置の改良:波長連続可変フィルタ-を用いて高速スペクトル計測装置の波長域の広領域化(波長:0.35〜14.5μm)をはかった。 2.高温表面の性状の推移にともなうスペクトル挙動の研究:高温大気酸化過程にある耐熱鋼と超合金の反射スペクトルの過渡挙動を広領域高速スペクトル法により調べ、広範な金属材料においてふく射の干渉・回折現象が規則的かつ再現性よく生起することを明らかにした。 3.温度ヒステリシスを示す高温金属の温度測定:高温のパラジウムの近赤外スペクトルの過渡挙動を調べ,表面の酸化・解離反応のためにスペクトルには明瞭な温度ヒステリシスが現れることを見出した。 4.反射光学系の開発:実在表面の拡散反射性質を測定する回転楕円体面鏡式の垂直入射半球反射率測定装置を考案・試作した。この装置は,吸収率スペクトルを1回の走査で求める。この装置を応用し,金属の機械研摩面の可視・近赤外反射の波長・角度特性を系統的に調べた。 5.あらい金属表面とその反射質のモデル化:実在表面のふく射性質を特徴づける表面の微視形状と被膜の効果をとり扱うために,あらい金属表面を自己相似構造をもちながら配列される離散要素のフラクタル的な集合として表す3次元モデルを提案し,そこでの電磁波の干渉・回折挙動を調べた。 6.金属実在表面のふく射性質推移の理論研究:研究5.のモデルに3次元非平行薄膜要素モデルを結合し,実在表面の反射性質の推移を記述する手法を提案した。その結果,実験で見出された反射スペクトルの規則的かつ一般的な過渡現象を計算機上で再現することが可能になった。

【研究種目】試験研究(B)

【研究期間】1989 - 1990

【配分額】5,600千円 (直接経費: 5,600千円)