【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】21340030 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

マルコフ過程 / エルゴード性 / マルコフ半群 / 生成作用素のスペクトル / 対数 Sobolev 不等式 / 超縮小性 / 確率解析 / 半群 / 対数ソボレフ不等式 / スペクトルギャップ / スペクトル / 大数Sobolev不等式 / マルコフ性 / 生成作用素の一意性 / 凸集合の保存 / 非対称拡散過程 / リーマン多様体 / 超過函数 / Brown 運動 / Wiener空間 / 消散的半群 / Riemann多様体 / 非対称半群 / Dirichlet形式

【研究成果の概要】

主に、マルコフ過程を確率解析の手法で研究した。ここではマルコフ過程に付随する半群の挙動について主に調べた。まずリーマン多様体上の拡散過程を、半群の構成の立場から考察した。Laplace-Beltrami 作用素にベクトル場を加えた作用素を考え、ベクトル場の条件で半群が一意的に決まる条件を与えた。
次に半群の凸集合の保存性に関する条件を整理した。Banach 空間の場合には生成作用素で条件を記述し、Hilbert 空間の場合は Dirichlet 形式を用いて条件を与えた。
また対数 Sobolev 不等式の条件の下で不変測度への収束の速さを考察した。関連して双対超縮小性の条件を調べた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009-04-01 - 2014-03-31

【配分額】16,770千円 (直接経費: 12,900千円、間接経費: 3,870千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】14204010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / 経路積分 / ブラウン運動 / 確率振動積分 / 熱核 / 漸近挙動 / ランダムウォーク / シュレディンガー作用素 / ウィナー汎関数 / ランダム場 / スペクトル / ウィシャート過程 / ブラウニアンミアンダー / ダイの定理 / 経路空間 / 確率微分方程式 / ディリクレ形式 / 跡公式

【研究成果の概要】

(1)経路空間上のフーリエ・ラプラス型変換である確率振動積分の厳密表現の研究,漸近挙動の研究,非線型偏微分方程式への応用の研究を行った.2次ウィナー汎関数を相関数とする場合に,付随するヒルベルト・シュミット作用素を用いてレヴィ・伊藤型の指数関数表示を与え,確率振動積分の具体的な指数減衰評価を得た.また相関数が多項式係数確率経路積分の場合にも具体的な指数減衰評価を確立した.ガウス型振幅関数を持つ確率振動積分に対し指数減衰主要部の停留点への集中を証明し,経路空間上での停留位相法確立への可能性を見いだした.さらにKdV階層タウ関数のオレンシュタイン・ウーレンベック過程から定まる確率振動積分による確率解析的表示を発見し,タウ関数と確率過程の間の全単射関係を証明し,確率解析の非線型方程式理論への新しい応用を見いだした.(2)具体的な経路空間上の汎関数に関し詳細な研究を行った.数理ファイナンス,ランダム媒質中の拡散過程,双曲空間上のブラウン運動などの研究への確率解析の応用において重要な役割を果たす幾何ブラウン運動の時間積分として定まる指数型汎関数について,その分布を決定し,密度関数の漸化式を確立した.また,正値対称行列値過程であるウィシャート過程の確率法則の絶対連続性,それに関わるいくつかの等式を証明し,双曲型平面上のブラウン運動を用いて微分形式に作用するラプラシアンに対するセルバーグ跡公式の確率解析的証明を与えた、さらにp進上半平面での跡公式に対する準安定過程を用いた確率解析的考察を行った.(3)一般の空間での熱核がガウス型評価をもつための判定のしやすい十分条件を与え,複雑な系の上に拡散過程を構成し,さらに熱核の詳細な評価式を得た.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2002 - 2005

【配分額】31,980千円 (直接経費: 24,600千円、間接経費: 7,380千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】13640165 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

熱核 / マルコフ過程 / 大偏差原理 / スペクトル / 主固有関数 / ロバチェフスキー空間 / 樹木 / ブラウン運動 / ディリクレ形式 / マルコフ連鎖 / 固定端過程 / 調和変換 / 主固有値 / 被覆空間 / 離散群 / 対称空間

【研究成果の概要】

推移確率密度関数が時間に関して指数関数オーダーで減衰するマルコフ過程に対してDonsker-Varadhan型の大偏差原理を系統的に調べることが目標であった。この種のマルコフ過程は非常に強い非再帰性を持ち、そのため通常の形の大偏差原理は成立しない。ここではこのマルコフ過程の固定端運動の経験分布の大偏差原理を考察した。我々の研究において本質的に重要な役割を果すのは、マルコフ過程の生成作用素のスペクトルの下端とそれに附随する(一般化された)正値固有関数(ここでは主固有関数と呼ぶ)である。基本的アイデアは、マルコフ過程をこの主固有関数で調和変換(Doobのh-変換の一般化とも言える)し、得られる新しいマルコフ過程に附随するレート関数を導入すると、それによって固定端運動に対する大偏差原理を証明することができる。具体的には、(i)多次元正方格子上の可逆な周期的マルコフ連鎖(離散時間および連続時間パラメータ)について、正方格子の離散トーラスに対する被覆性に基づいた議論により、大偏差原理を証明した。(ii)(i)におけるマルコフ連鎖について、スペクトルの下端が正になるための必要十分条件を、Ellisの大偏差の理論を利用して証明した。(iii)非ユークリッド的な状態空間の場合:(A)2次元ロバチェフスキー空間のブラウン運動、(B)樹木上のランダムウオーク、に対して大偏差原理を示した。(iii)の場合は、(i)にくらべるといくぶん弱い主張であるが、ファイマン-カッツ型の汎関数の平均に対する極限定理は、レート関数とL^2-スペクトルとの関係に着目することにより証明できた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2001 - 2002

【配分額】3,100千円 (直接経費: 3,100千円)