【研究分野】幾何学

【研究領域課題番号】19540063 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

カオス / エントロピー / 拡大写像 / 連続体 / 非分解空間 / フラクタル / 拡大同相写像 / エルゴート理論 / 写像空間 / 非分解空聞

【研究成果の概要】

本研究では、相空間として一般のコンパクト距離空間を取り扱い、連続写像のカオス的な性質を位相的・エルゴート的に考察した。主な研究成果として、位相エントロピーの評価からhereditarily indecomposable continua上には拡大同相写像は存在しないことを証明した。またアレキサンドロフ・ウリゾーンの距離化定理を応用して、拡大写像の拡大率とフラクタル次元に関する強力な定理を得た。これらの結果は、幾何学的トポロジーと位相力学系理論研究の進展に大きく貢献する結果となった。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2007 - 2009

【配分額】4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)

【研究分野】物性一般(含基礎論)

【研究領域課題番号】13640391 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

コンダクタンス / 量子ドット / 周期軌道理論 / BEC / 巨視的波動 / トンネル振動数 / 同期軌道理論 / カオス / コンダクタンス=ピーク / 準位統計 / フラクタル / コンダクタンスゆらぎ / 半古典理論 / 非線形動力学

【研究成果の概要】

本研究のねらいは、周期軌道を用いた半古典論により、コンダクタンス=ピークの間の相関を考察することであった。具体的に、カオス系量子ドット(スタジアム型のナノビリアードなど)を対象にして、クーロンブロッケードのコンダクタンス=ピークに関する半古典論を展開した。
まず、コンダクタンス=ピークがフェルミの黄金則により、量子ドットとリード線の間のトンネル行列要素と関係していることに着目する。つぎに、半古典極限で、障壁近傍の波動関数の振る舞いを半古典グリーン関数と周期軌道理論で記述する。そして、これを用いて、コンダクタンス=ピーク(つまり、ピークの高さ)の周期軌道による表示をおこなった。結論として、コンダクタンス=ピークについては
(1)分布関数の導出
(2)(フェルミエネルギー、電子数あるいは磁場を変調した時の)相関関数の振動構造の導出
(3)ランダム行列理論の結果(Porter-Thomas型の分布関数)への周期軌道理論による量子補正の導出、
に成功した。こうして、ディリクレ型境界条件やソフトなポテンシャル壁をもつ弱磁場および中間磁場下の2次元電子系の半古典論と量子論の比較研究を行う道を切り開いた。
最後に、
(4)BECにおける巨視的波動のダイナミクスを記述するグロス=ピタエフスキー方程式(非線形性シュレーディンガー方程式)を用いて、量子力学で重要な効果である、干渉効果とトンネル効果を解析した。前者については、波束が2重スリットを通過して、分裂した後,干渉をおこして、干渉パターンを形成することを示した。後者については、ダイナミカルなトンネル振動数に着目した。干渉パターンやトンネル振動数の非線形性の強さへの依存性を明らかにし、論文を作成中である。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2001 - 2003

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】01540205 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / カオス / ウェーブレット / 自己組織 / 疲労 / ウエ-ブレット / シャウダ-展開

【研究成果の概要】

この3年間においては、1985年以降山口が、引き続き研究しているフラクタルおよびカオスに関連する応用面を探究することにした。山口は、守本晃とともに、1983年に山口、畑が展開した理論にひきつづくものとして、ウェーブレット展開の理論を紹介、応用として、守本が再分割法によるシミュレーションに応用した。又、岡田至弘は、自己組織化による、文書情報からパターン抽出する方法を考案した。中村宏は従来からの材料疲労の研究を推進しつつフラクタルとの接点を追求している。更に化学の池田重良は溶液中の分子にX-線を目標原子にあて、その散乱の様子から分子の局所構造を研究している。多重散乱にまでこの研究が進めば、フラクタルとの関連も期待できる。
以上のように、4分野へのフラクタルの応用を考えているが、未だ、これを統一して、一つの数学で記述することはできない。引き続き、研究をつづけるデータを集積することが必要である。
予測としては、ウェーブレットによる展開が、池田のデータの解析に用いられるのではないかと思っている。
尚、フラクタル上の解析学は、木上淳によって、引き続き、数学が建設されていることを書いて報告を終わる。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1989 - 1991

【配分額】1,800千円 (直接経費: 1,800千円)

【研究分野】広領域

【研究領域課題番号】62300007 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 地震 / 震源過程 / 岩石破壊 / カオス / パターン形成

【研究成果の概要】

フラクタルは最近急速に発展しつつある非整数次元の形を取り扱う幾何学であり、破壊、パターン形成、ランダム媒質中の波動電播等の現象を通じて、地震学とも密接に関連している。本研究の目的はフラクタルの最新の知識を地震学に導入すると同時に、地震学固有の問題をフラクタルを専門とする数学者、物理学者に理解してもらい、それによってフラクタル科学の発展と地震学の発展を期待するものである。具体的には、分担者を中心とするいくつかのワーキング・グループを発足させ、グループ毎に問題のレビューと研究を行い、これらの成果をシンポジウムで発表、討論するという形態をとった。昭和62年度においては計3回のシンポジウムを開催した。これらのシンポジウムにおいては、先ず地震学に限らず広く地球科学、天文学、物理学、化学の分野におけるフラクタル並びにカオスの現象を総括し、これらの現象と地震現象との類似点、相違点についての共通の認識を深めた。フラクタルは元来幾何学的な概念であるために、静的な現象を記述するのには威力を発揮する。したがって現象そのものを見る限りにおいては各分野に見られるフラクタル現象には共通点が多い。しかしこのことがそれらの現象を支配している物理、化学的な過程に共通性があるわけではない。そこで本研究の後半では現象の記述だけではなく、ダイナミックな側面にも注意を払うことにした。すなわち、化学反応、流体運動の非平衡非定常現象、岩石などの破壊過程のダイナミックス等が取り上げられた。昭和63年度においては2回のシンポジウムがこの線に沿って開催され、震源の階層性、フラクタル構造中の波動電播、断層の相互作用等が議論された。これらの成果は既に「数理地震学(III)」として公刊されており、63年度の成果は「数理地震学(IV)」として公刊される予定である。

【研究種目】総合研究(A)

【研究期間】1988 - 1989

【配分額】5,000千円 (直接経費: 5,000千円)