【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】26287017 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / ラプラシアン / Dirichlet form / 力学系 / タイリング / 自己相似集合 / 確率過程 / 拡散過程 / 複素力学系

【研究成果の概要】

自己相似集合や力学系の不変集合などの代表的なフラクタル集合において、その集合を特徴付ける代数的・幾何学的な構造とその上の解析学の相互関係について研究を行った。具体的には、例えば、一般化されたシルピンスキーカーペット上のブラウン運動の特異な測度に対する時間変更について、弱幾何級数的という条件の下で、ポアンカレ不等式を確立し、連続な熱核の存在を示し、測度から定義される距離もどきを用いた熱核の漸近評価を得た。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2014-04-01 - 2017-03-31

【配分額】16,380千円 (直接経費: 12,600千円、間接経費: 3,780千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】20340017 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 確率過程 / 熱核 / タイリング / 複素力学系 / ジュリア集合 / random walk / Tree / Cantor set / percolation cluster / 調和関数 / Martin境界 / jump process

【研究成果の概要】

本研究では、フラクタルに関する数学的基礎理論を多様な視点から研究した。フラクタル上の解析的構造(確率過程など)から導かれるフラクタルの内的な幾何的構造を明らかにし、その幾何学的構造を用いてフラクタル上の確率過程の漸近挙動、フラクタルを境界とする領域上の関数の境界での挙動などなどを詳しく調べた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2008 - 2010

【配分額】18,850千円 (直接経費: 14,500千円、間接経費: 4,350千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17340026 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / 自己相似集合 / パーコレーション / 調和関数 / エネルギー測度 / タイリング / 確率論 / 力学系 / 調和解析

【研究成果の概要】

フラクタル上の解析学と幾何学の関連について、次の2つの成果を得た。
(1) 自己相似集合上の自己相似的なDirichlet formから導かれる拡散過程の熱核(確率推移密度)の漸近共同を記述するのに最適な距離の構成を行った。具体的には、Dirichlet formのresistance rationと測度から決まる自己相似集合上のscaleに関して測度がvolume doublingであることが、熱核の対角成分がLi-Yau型のsub-Gaussian評価をみたすような距離が存在するための必要十分条件であることを示した。Barlow-Bassによって構成された(高次元の)Sierpinski carpet上の拡散過程の自己相似測度に関する時間変更に対応する熱核に対してこの結果をおうようした。そして、熱核の対角成分が、Li-Yau型のsub-Gaussian評価をみたすような距離が存在るための、自己相似測度の重みに関する簡単な必要十分条件を見いだした。
(2)Sierpinski gasket上の標準的なDirichlet formに付随する測度論的なRiemannian structureの研究を行った。その結果、Riemannian volumeに対応するDirichlet formのエネルギー測度がユークリッドの距離に関してvolume doublingとなることを示たた。また、geodesic metricがharmonic Sierpinski gasket上のshortest path metricと一致することを見いだし、上の結果と合わせて、Sierpinski gasket上のブラウン運動のエネルギー測度に関する時間変更の熱核がLi-Yau型のGaussian評価をみたすことを示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】16,500千円 (直接経費: 15,300千円、間接経費: 1,200千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】14340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / 複素力学 / タイリング / ラプラシアン / 自己相似集合 / 拡散過程 / ジュリア集合

【研究成果の概要】

本研究はフラクタルを解析学、確率論、エルゴード理論、力学系、応用数学の様々な視点から総合的にとらえること目的としている。初年度(14年度)および最終年度(16年度)に京都において本研究課題を中心テーマとする研究集会をおこない、初年度においてはこれからの研究の方向について、最終年度については本研究で得られた成果にういてそれぞれ検討をおこなった。本研究で得られた成果の主なものは以下のとおりである。木上は、volume doubling条件の元では、Li-Yau型の上からの熱核の評価が局所Nash不等式と脱出時間の評価に同値であることを明らかにし、その応用としてフラクタル上の熱核の性質を詳細に調べた。熊谷は、Barlow-Bassらと共同で、熱核のLi-Yau型の評価の摂動に関する安定性を示した。伊藤は、ベータ変換とそれに対応するタイリングの代数的な性質を明らかにした。佐藤はフラクタルをマルチン境界とするような確率過程の構成を行った。亀山は、複素力学系に現れるジュリア集合が自己相似集合となるための条件を明らかにした。日野はSierpin ski carpet上の自己相似的なDirichlet形式のエネルギー測度は任意の自己相似測度と特異的であることを示した。さらに木上と亀山は自己相似集合の位相的性質とその上の拡散過程の性質の関係を明らかにした。また木上と熊谷はHamblyと共同で、フラクタル上の熱核の漸近的性質のマルチフラクタル性を明らかにした。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2002 - 2004

【配分額】14,300千円 (直接経費: 14,300千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】01540197 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / フラクタル分布 / フラクタル次元 / フラクタル領域 / 自己相似過程 / ランダム媒質中のランダム・ウォ-ク / 非弾性体衝突 / タイリング

【研究成果の概要】

本研究の目的は、近年多くの数学、物理、その他の諸科学で興味が持たれているフラクタルについて、特に数学的な観点から見直し、そこで生まれた新しい問題、新しい数学について、他の分野の問題と関連させながら研究することであった。以下、研究成果の主なものを述べる。
研究代表者の前島は河野(京大)との共同により、確率論的フラクタル現象である自己相似過程、特にその中で大きな値をとる確率が急激に減らないフラクタル分布をもつとされる自己相似安定過程について、知られているすべてのことをまとめて発表すると共に、いくつかの新しい構成法を提案、更に確率論的標本関数の性質を調べた。又、それらの新しい確率モデルが時系列、地震デ-タなどの統計解析にどのくらい有効かを検討した。研究分担者の田中、田村は、更に河津(山口大)の協力を得て、そのようなフラクタル的確率過程によってその環境が確率的に変わるようなランダム・ウォ-クについて、その漸近挙動を研究し、ある種の統計力学の問題に対する接近を試みた。更に田中は単独でも、それらの研究の基礎になる特殊な確率過程のマルコフ性を証明した。研究分担者の渋谷は、物理学者川合(慶大)らの協力の下に、有限集合の確率分割の典型的なものである確率順列の巡回への分割の理論を使って、1次元非弾性体の衝突によって生じるクラスタ-の性質を説明することに成功した。柴田は、フラクタル次元の統計的推定に関して、モデル選択の立場からその方法の検討を行った。又仲田は、複素ディオファンタス近似にあらわれる複素領域について、その領域の境界のフラクタル次元の解析に関連して、自己相似性と平面のタイリング性の可否について部分的な結果を得、シュミットの連分数における方法論がタイリングが可能であるという予想の解決に有効かどうかを更に研究中である。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1989

【配分額】1,600千円 (直接経費: 1,600千円)