【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】18340045 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

エネルギー消散 / 非線形現象 / 相転移 / 力学系 / 変分不等式 / 力学系の安定性 / 相転移現象 / 安定性理論 / 自由境界問題 / 安定性

【研究成果の概要】

環境問題等、人間生活に深く関わる非線形で複雑な現象のメカニズムの解明を目的とした数学理論の構築と、その活用を物質科学・生命科学に現れる具体的な問題を対象に試みた。本研究の過程で、新しい数学理論が展開され、それにより幾つかの未解決問題への有効なアプローチが見つかった。これは、本研究の最も大きい成果と言える。さらに、この新しい数学理論は、それを基盤とした「生活数学」の創生へ発展している。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2006 - 2009

【配分額】12,740千円 (直接経費: 10,400千円、間接経費: 2,340千円)

【研究分野】数理物理・物性基礎

【研究領域課題番号】17540348 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

物性基礎論 / 計算物理 / アルゴリズム / 統計物理 / 拡張アンサンブル法 / モンテカルロ法 / 稀な事象 / スピングラス / 相転移 / リエントラント / 拡張アンサンブル / フラストレーション / 交換法 / 臨界現象 / 力学系 / カオス

【研究成果の概要】

(1)稀な事象を効率よくサンプルするためのモンテカルロ法の応用:前年度に開発されたモンテカルロ法を用いて,稀に起こる事象が物理や統計の分野で重要な役割を果たす問題に応用を試みた.一つの例は希釈磁性体におけるグリフィス特異性の直接数値検証である.そこでは非常に小さな確率で実現する大きなクラスターからの帯磁率の寄与が特異性の原因となっている.つまり,稀に存在するクラスターをその確率を評価しながら実現させるところが困難であるが,我々の芳法を用いて直接巨大なクラスターの抽出に成功し,その特異性の定量的な解析が可能になった.今後は巨大クラスターの統計的性質を議論する方向への研究の展開が期待される.全く同じ方法をスピングラスと呼ばれる問題へ直接応用することは困難であったが,別の観点からグリフィス特異性を分配関数の虚数温度のゼロ点としてとらえることができ,その数値解析を行った.物理的に意味のある特異性は実軸への接触であるが,この問題では実軸にもっとも近いゼロ点の存在自体が稀な事象となっている.ここでも我々のモンテカルロ法が強力であり,スピングラス系で初めてグリフィス相の存在を明らかにすることができた.また,情報理論の符号の問題に応甫し,稀に存在する大きなビットエラーを引き起こすノイズの抽出に成功している.
(2)解の個数の統計力学的数え上げ:近年の拡張アンサンブル法を用いたモンテカルロ法の一つのメリットはエントロピーや自由エネルギーの計算の精度がよいことである.我々はその特徴を生かして,非常に巨大な数の数え上げをエントロピーの計算些より実現する方法を提案した.具体例として,数独のような制約充足問題の解の個数の評価を試みた.本研究ではヒントの無い数独の解の個数の評価を行った,一般のグリッド数に拡張した数独の問題では通常の9グリッド以上では厳密解はなかったが,我々は49グリッドまでの計算に成功した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】3,340千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 240千円)

【研究分野】代数学・幾何学

【研究領域課題番号】03640099 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

場の量子論 / 格子系 / ゲージ理論 / 場の発散 / 平担な接続 / アノマリー / 相転移 / K.M.S状態 / ゲージ接続 / 平坦拡張定理 / 非可変微分幾何 / 量子場の発散 / algebroid / 指数定理 / Gauss-Bonnet定理 / Singular pertuvbation / flat connection / Diff.eq.of Fuchsian Type / dynamical system / singular pertubation / constrained sysytem / quantum field theory / gauge connection / renormalization / anomaly / B.R.S.transformation

【研究成果の概要】

微分力学系の研究として、場の量子論及び格子力学系を考察した。場の量子論では、発散の幾何学的考察がなされ、格子系に於いては、相転移の数学理論(確率論とC^*-代数による)を構成することがなされた。以下、別個にこれらを報告する。
(1)場の量子論に於ける発散とその幾何学
ゲージ理論に於いては、物理的にはともかく数学的に発散の概念は定義されていないようである。今度の研究に於いて、ゲージ接続 代数的に定義することにより-これを分解による方法とよぶことにする-発散の概念を定義することが可能になった。この様な手法はConnesの非可換微分幾何に見られる様に近年益々一般的になりつつことに注意する。この方法により、次の事柄を示すことができる。すべてのゲージ接続は発散を許すなら、平担な接続に拡張される(これを平担拡張定理という)。古典系は発散をもたず、この事実により非線形ゲージ場は、自由場の解を分解することにより得られることが示される。量子系では発散が生じるのが通常である。この発散にGauss-Bonnet型の定理(一種の留数定理)を示すことにより、アノマリー、指数定理を示すことができる。
(2)格子系の相転移についての数学理論
物性論を中心とする物理においては、格子系を考察するにあたり、通例期待値のみをとりあげ、それを定める力学系そのものを考察することは少なくない。ここではC^*-代数に於ける微分論の手法を用いて、力学系の構成、相転移の数学的定義(K.M.S-状態)が与えられるようになった。又かなり一般的な条件のもとで相転移がいつ存在しないかも議論されるようになった。特に一次元のとき、相転移がないことも示される。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1991 - 1993

【配分額】1,600千円 (直接経費: 1,600千円)