【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】26287017 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / ラプラシアン / Dirichlet form / 力学系 / タイリング / 自己相似集合 / 確率過程 / 拡散過程 / 複素力学系

【研究成果の概要】

自己相似集合や力学系の不変集合などの代表的なフラクタル集合において、その集合を特徴付ける代数的・幾何学的な構造とその上の解析学の相互関係について研究を行った。具体的には、例えば、一般化されたシルピンスキーカーペット上のブラウン運動の特異な測度に対する時間変更について、弱幾何級数的という条件の下で、ポアンカレ不等式を確立し、連続な熱核の存在を示し、測度から定義される距離もどきを用いた熱核の漸近評価を得た。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2014-04-01 - 2017-03-31

【配分額】16,380千円 (直接経費: 12,600千円、間接経費: 3,780千円)

【研究分野】ソフトコンピューティング

【研究領域課題番号】25870171 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

遺伝子発現 / 確率過程 / 概日時計 / システム生物学 / 生物物理 / 力学系

【研究成果の概要】

本研究課題では，非定常状態における遺伝子発現系を非平衡統計力学理論に基づいて統計解析することを目的としていた．非平衡理論に基づいた解析手法を開発することで，外部からの変動のある系，振動現象を生じる系，外在ゆらぎの影響を受ける系などの遺伝子発現系の解析を行った．振動現象の解析では，ゆらぎに対するロバスト性と外部信号に対する感度の両方を両立する条件を探り，現存の体内時計が満たしていることを明らかにした．また，非定常状態の確率密度関数を計算する方法を開発したことで，外部入力のある系の分布が高速に計算可能となった．

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2013-04-01 - 2016-03-31

【配分額】3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17340022 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

くりこみ群 / スケール極限 / 確率過程 / 力学系 / 非マルコフ / 自己回避経路 / 二分木 / 無限粒子系 / 確率ランキング模型 / Burgers方程式 / 固定点の唯一性 / 自己回避路 / 高次元ガスケット / 確率連鎖 / 流体力学極限 / 数理ファイナンス / ブラックショールズ / 非マルコフ確率過程 / 自己抑制経路 / 変位の指数

【研究成果の概要】

確率モデルのくりこみ群による解析という立場の中で, 確率過程の漸近的性質の導出を中心にして, 新しい解析学としてのくりこみ群の可能性を追求した.成果のいくつかは, 服部哲弥著「ランダムウォークとくりこみ群」(共立出版, 2004)に示した構想を進展させるものである. 目的の一環として, 現象に動機づけられた理論的描像に基づく新しい確率過程の可能性を探り, 成果の実際的な問題への応用も視野に入れた.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】14,860千円 (直接経費: 13,000千円、間接経費: 1,860千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】14340054 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形シュレディンガー方程式 / 熱方程式 / 爆発現象 / パターン形成 / 最大点挙動 / 分岐解析 / 力学系 / ゲージ理論 / 爆発解 / 漸近挙動 / くりこみ群 / 確率過程 / 半線形熱方程式 / 固有値問題 / 非線型シュレディンガー方程式 / 半線形放物型方程式 / 国際情報交換 / カナダ:イスラエル

【研究成果の概要】

名和と石毛が運営メンバーに名を連ねる『語ろう「数理解析」』(http://www.gifu-u.ac.jp/~tisiwata/seminar/ma_seminar.html)を通して,様々な分野の研究者との議論の場を設ける事ができた。この活動などを通して、研究分担者各員は、各々の研究分野で成果をあげ、様々な研究集会など、複数の講演機会や海外への渡航機会も得て、情報交換がより密になされるようになった。
名和は、擬共型不変な非線形シュレディンガー方程式の爆発解に対して、その爆発速度と漸近挙動との間の関係性について、ひとつの結果を得る事ができた。これにより、次のステップとして、本格的にネルソン過程と呼ばれる解の背後にある確率過程と爆発速度との関係の追求に移る事ができる。また、微分型非線形シュレディンガー方程式の爆発解に対しても、漸近形に対しては、部分的に同様の結果を得た。さらに、これまでに開発した技術が、超伝導の理論に現れるような、非線形シュレディンガー方程式系の解析にも有効である事を見抜き、古典場ではあるが、クーパー対の生成とも言うべき性質を解が持ち得る事を示した。
石毛は、拡散係数が大きな半線形熱方程式の爆発解の爆発集合や漸近形に関する結果や、球の外部領域における線形熱方程式の解の最大点挙動および解の微分の無限遠方での減衰評価を得た。鈴木は、自己双対ゲージ模型におけるある種の自己組織化現象や,走化性方程式系の爆発問題に関して興味深い結果を得た。小川は、自発的パターン形成のモデルである、スイフト=ホッヘンバーグ方程式や,ある電気化学系のモデル方程式などの解に現れる時空パターンについて,力学系や分岐理論を用いた解析を行った。これらの解析の一部は、すでにシュレディンガー方程式の解の解析と精神を同じくしている部分もあり、今後のさらなる共振的な発展が期待される。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2002 - 2005

【配分額】11,400千円 (直接経費: 11,400千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07304020 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確立過程 / 確率解析 / 数理ファイナンス / フラクタル / 流体力学極限 / エルゴ-ト理論 / 確率制御 / ブラウン運動 / 確率過程 / 確率微分方程式 / パーコレイション / 無限粒子系 / シュレ-ディンガー作用系 / 無限次元解析 / 極限定理 / 力学系

【研究成果の概要】

この研究は平成7年度と8年度にわたって行った。内容については研究成果報告書にあるように我国で行われている確立論の多くの分野にわたることについて計12日の研究集会を開き,研究情報の交換を行った。
特にその中でも,数学の他の分野,あるいは数学以外の分野との交流が多く持てたことに大へん意義があった。統計物理,数理生物,数理ファイナンス,数学の分野では討論,微分方程式,スペクトル理論,微分幾何,等々関連する分野の研究に親展があった。
また7年度と8年度に1度づつ夏の学校を開き,若い研究者,学生に対して現在活発に進行中の話題,つまり「流体力学極限」と「エルゴ-ト理論と数論」の2つの主題について,専門の研究者に連続講演をお願いした。これは,若い世代に自分の研究の方向付けを与えるものとして非常に意義深いものであったと思う。
さらに各分野を統合する研究集会を各年の12月に開催した。これにより,ともすれば狭い専門に限られて関心を広げることができたと思う。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1996

【配分額】17,500千円 (直接経費: 17,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】05640261 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

力学系 / エルゴード理論 / 確率過程 / フックス群 / 閉測地線 / 極限定理 / ビリヤード / フラクタル

【研究成果の概要】

有限生成第一種フックス群に付随した一次元力学系の時間発展を確率過程とみることによって、中心極限定理および局所極限定理を証明した。更に、このとき中心極限定理に現れる極限分散が非退化となる十分条件を力学系の軌道の性質を用いて表すことに成功した。この結果の幾何学的応用として、有限面積リーマン面上の向き付けられた閉測地線が数論における素数定理の類似をみたすことを導いた。
上のリーマン面の場合には閉測地線が丁度測地的流れという力学系の周期軌道であるのだが、周期軌道の分布について素数定理の類似の成立が期待されながらも、その証明が得られていないいくつかの力学系に対して我々の方法を試みた。その結果、撞球型の力学系に関して次の中間的成果を得た。まず、ポテンシャル域が互いに素な複数個の非負値中心力場の中を運動する質点を記述する力学系の周期軌道について、摂動撞球への帰着によって素数定理の類似を検証できた。次にシナイの撞球と呼ばれる古典力学のエルゴード問題で重要な力学系に関しては、測度論的に十分大きな部分系が存在して素数定理の類似を満たすということが示せたにすぎず、最終結果まで至れなかった。これはマルコフ分割を用いた符号化がこれまでのようにうまくいかなかったことに原因が有り、この技術的な問題を解決するのはこれからの課題の一つである。
これらの研究と並行して分数次元の相空間をもった力学系との関連でフラクタル上の拡散過程の推移確率密度の解析や、高次元の力学系の系統的研究の基礎として複素解折的な研究を行ない若干の結果を得た。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1993

【配分額】2,100千円 (直接経費: 2,100千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】02640192 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

制御理論 / rondom processe / 確率微分方程式 / 半群 / Kullback情報量 / cox'sモデル / ランダム・プロセス / 最適問題 / HーJーB方程式 / ポ-トフォリオ / Kulbackの情報量 / 確率過程 / 最適制御 / 発展作用素 / 力学系 / Dynamic programing

【研究成果の概要】

様々な分野でrandom processeに関連した最適問題がある。これらの問題を収集して数学的な問題としてFormuiateしてきた。
例えば、2階偏微分方程式の粘性解の研究の動機として知られているHーJーB equationは確率微分方程式で記述される系の最適問題から導かれる。一般には、このタイプの方程式で通常の意味での解を求めることは困難であり、従ってさらに最適制御を特徴づけることはさらに困難であろう。しかし、制御が一次同次形であるportfolioの問題の特別な場合にはelliptic partが特別な形をしていることから、ある制限の下では変数変換によって具体的な解の表現が得られた。さらに一般的なクラスで、一般化された半群として具体的に表現された解を見つけて、最適制御の特徴づけを試るみことが今後の課題である。また、portfolioの問題に関連してpricingの問題がある。nonーarbitrageと言われる条件を満たすpricing systemの研究が進められている。
また、医療統計や、心理学の実際的な場面で問題になる対立するいくつかの確率モデルの間の最適性の問題がある。その一つの方法はAkaikeの提案によるKullback情報量に関する最適性であるが、この情報量の解析的な性質は未だほとんど研究されていない。殊に、医療情報でのようにcensorと言われる多くの除外例を含むモデルの場合、モデルの間の良否を判定する基準についての研究は今後の課題が多い。
一方、拡張された半群、Cーsemigroupの研究、sample pathの空間ととて基礎となる連続関数の空間のある部分空間の特徴づけの研究などで進展をみた。
また、グラフ理論との関連でkhotsやlinksについての研究でもいくつかの進展をみた。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1990 - 1991

【配分額】800千円 (直接経費: 800千円)