【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】15K04916 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

無限次元確率微分方程式 / ランダム行列 / 相互作用系 / 干渉ブラウン運動 / 干渉レヴィ過程 / スコロホッド方程式 / 浸透模型 / 行列式点過程 / 無限粒子系 / 確率微分方程式 / 長距離相互作用 / 対数ポテンシャル / 点過程 / ディリクレ形式 / ブラウン運動 / 行列式過程 / 強マルコフ性 / 末尾事象

【研究成果の概要】

近年の長田氏との共同研究により、長距離相互作用をもつ拡散型無限粒子系に対して、無限次元確率微分方程式に対する解の存在と一意性を導いた。この拡散系の結果を飛躍型無限粒子系(江崎氏との共同研究)、および無限剛体球系に対して一般化することに成功した。無限次元確率微分方程式の一意性の応用として、対応するディリクレ形式の一意性を導いた（長田氏、河本氏との共同研究）
Rahul Roy 氏との共同研究により、ユークリッド空間上に中心がポアッソン配置されたstick の繋がりから定まる浸透模型を導入し、stick の方向分布とクラスターの形状の関連を調べ、ある種の相転移現象を導いた。

【研究の社会的意義】

物理学、生物学、経済学、工学などで観察されている現象を確率過程で表しその性質を調べる研究は確率論の分野では盛んに行われている。無限粒子系に対しても確率過程での表現が行われているが、多くの場合、有限粒子系からの近似で得られており、極限確率過程の一意性が重要な問題として残る。本研究期間中での研究成果により、対象となる確率過程を無限次元確率微分方程式の解として表現し、その一意性を示すための一般論が構築された。この成果により無限粒子系に対する確率解析の適用を可能にすることができる。さらに、この理論は頑強であり、多くの現象に対しても応用可能であることから、学術的意義や社会的意義は高いと思われる。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2015-04-01 - 2019-03-31

【配分額】4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】14204010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / 経路積分 / ブラウン運動 / 確率振動積分 / 熱核 / 漸近挙動 / ランダムウォーク / シュレディンガー作用素 / ウィナー汎関数 / ランダム場 / スペクトル / ウィシャート過程 / ブラウニアンミアンダー / ダイの定理 / 経路空間 / 確率微分方程式 / ディリクレ形式 / 跡公式

【研究成果の概要】

(1)経路空間上のフーリエ・ラプラス型変換である確率振動積分の厳密表現の研究,漸近挙動の研究,非線型偏微分方程式への応用の研究を行った.2次ウィナー汎関数を相関数とする場合に,付随するヒルベルト・シュミット作用素を用いてレヴィ・伊藤型の指数関数表示を与え,確率振動積分の具体的な指数減衰評価を得た.また相関数が多項式係数確率経路積分の場合にも具体的な指数減衰評価を確立した.ガウス型振幅関数を持つ確率振動積分に対し指数減衰主要部の停留点への集中を証明し,経路空間上での停留位相法確立への可能性を見いだした.さらにKdV階層タウ関数のオレンシュタイン・ウーレンベック過程から定まる確率振動積分による確率解析的表示を発見し,タウ関数と確率過程の間の全単射関係を証明し,確率解析の非線型方程式理論への新しい応用を見いだした.(2)具体的な経路空間上の汎関数に関し詳細な研究を行った.数理ファイナンス,ランダム媒質中の拡散過程,双曲空間上のブラウン運動などの研究への確率解析の応用において重要な役割を果たす幾何ブラウン運動の時間積分として定まる指数型汎関数について,その分布を決定し,密度関数の漸化式を確立した.また,正値対称行列値過程であるウィシャート過程の確率法則の絶対連続性,それに関わるいくつかの等式を証明し,双曲型平面上のブラウン運動を用いて微分形式に作用するラプラシアンに対するセルバーグ跡公式の確率解析的証明を与えた、さらにp進上半平面での跡公式に対する準安定過程を用いた確率解析的考察を行った.(3)一般の空間での熱核がガウス型評価をもつための判定のしやすい十分条件を与え,複雑な系の上に拡散過程を構成し,さらに熱核の詳細な評価式を得た.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2002 - 2005

【配分額】31,980千円 (直接経費: 24,600千円、間接経費: 7,380千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】11440051 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確立振動積分 / マリアヴァン解析 / 2次相関数 / 局所化 / 漸近理論 / 熱核 / 跡公式 / 大偏差原理 / 確率振動積分 / 確率微分方程式 / レヴィ測度 / ブラウン運動 / グリーン関数 / 非線形変換 / 複素変数変換 / ヤコビ方程式 / 確率面積 / 停留位相法

【研究成果の概要】

本研究においては確率振動積分の漸近挙動について体系的な研究を行った.確率振動積分は,無限次元空間であるウィナー空間Xとその上のGauss測度mを用いて,ウィナー汎関数exp[iaq(x)]f(x)を積分して得られるI(a)のことをいう.ここでiは虚数単位,aは実数であり,q, fは実数値で前者は可測,後者は可積分であるとする.qを相関数,fを振幅関数と呼ぶ.確率振動積分はその形から明らかなように測度fdmの下で実数値確率変数qの導く確率分布の特性関数を与えており,したがってその詳細な表示,漸近挙動は分布関数を知るために必要不可欠な情報を与える.この意味で確率振動積食の研究は確率解析の研究の根幹をなすものであるといえる.しかしながら,確率振動積分の研究がより興味深い研究対象となるのは,それをファインマン経路積分の数学的対応物と認識したときから始まる.ファインマン経路積分論において準古典近似,WKB近似と呼ばれる現象は,確率振動積分の漸近挙動を詳細に調べることによりその数学的裏付けを得ることになる.本研究では有限次源空間上の振動積分の研究に鑑み,確率振動積分に対し,停留位相の原理の確立を目指し基礎的事実の研究を行った.とくに2次相関数を持つ確率振動積分の複数種類の厳密表現を得,それにより相関数が2次の場合にはほぼ確定的な漸近挙動を得た.またその場合に減衰のオーダーを特徴づける量を解明し,2次相関数に付随するヒルベルト・シュミット作用素により減衰オーダーを記述することに成功した.さらに確率振動積分の漸近挙動の主要項が相関数の停留点の付近での積分に由来することを特別な相関数の場合に確認することができた.経路空間上の確率振動積分に対し,その厳密表現を幾何学的諸量で記述することに成功し,これにより厳密表現の古典力学的な意味を明らかにした.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2001

【配分額】8,800千円 (直接経費: 8,800千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07304020 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確立過程 / 確率解析 / 数理ファイナンス / フラクタル / 流体力学極限 / エルゴ-ト理論 / 確率制御 / ブラウン運動 / 確率過程 / 確率微分方程式 / パーコレイション / 無限粒子系 / シュレ-ディンガー作用系 / 無限次元解析 / 極限定理 / 力学系

【研究成果の概要】

この研究は平成7年度と8年度にわたって行った。内容については研究成果報告書にあるように我国で行われている確立論の多くの分野にわたることについて計12日の研究集会を開き,研究情報の交換を行った。
特にその中でも,数学の他の分野,あるいは数学以外の分野との交流が多く持てたことに大へん意義があった。統計物理,数理生物,数理ファイナンス,数学の分野では討論,微分方程式,スペクトル理論,微分幾何,等々関連する分野の研究に親展があった。
また7年度と8年度に1度づつ夏の学校を開き,若い研究者,学生に対して現在活発に進行中の話題,つまり「流体力学極限」と「エルゴ-ト理論と数論」の2つの主題について,専門の研究者に連続講演をお願いした。これは,若い世代に自分の研究の方向付けを与えるものとして非常に意義深いものであったと思う。
さらに各分野を統合する研究集会を各年の12月に開催した。これにより,ともすれば狭い専門に限られて関心を広げることができたと思う。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1996

【配分額】17,500千円 (直接経費: 17,500千円)