【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】14204010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / 経路積分 / ブラウン運動 / 確率振動積分 / 熱核 / 漸近挙動 / ランダムウォーク / シュレディンガー作用素 / ウィナー汎関数 / ランダム場 / スペクトル / ウィシャート過程 / ブラウニアンミアンダー / ダイの定理 / 経路空間 / 確率微分方程式 / ディリクレ形式 / 跡公式

【研究成果の概要】

(1)経路空間上のフーリエ・ラプラス型変換である確率振動積分の厳密表現の研究,漸近挙動の研究,非線型偏微分方程式への応用の研究を行った.2次ウィナー汎関数を相関数とする場合に,付随するヒルベルト・シュミット作用素を用いてレヴィ・伊藤型の指数関数表示を与え,確率振動積分の具体的な指数減衰評価を得た.また相関数が多項式係数確率経路積分の場合にも具体的な指数減衰評価を確立した.ガウス型振幅関数を持つ確率振動積分に対し指数減衰主要部の停留点への集中を証明し,経路空間上での停留位相法確立への可能性を見いだした.さらにKdV階層タウ関数のオレンシュタイン・ウーレンベック過程から定まる確率振動積分による確率解析的表示を発見し,タウ関数と確率過程の間の全単射関係を証明し,確率解析の非線型方程式理論への新しい応用を見いだした.(2)具体的な経路空間上の汎関数に関し詳細な研究を行った.数理ファイナンス,ランダム媒質中の拡散過程,双曲空間上のブラウン運動などの研究への確率解析の応用において重要な役割を果たす幾何ブラウン運動の時間積分として定まる指数型汎関数について,その分布を決定し,密度関数の漸化式を確立した.また,正値対称行列値過程であるウィシャート過程の確率法則の絶対連続性,それに関わるいくつかの等式を証明し,双曲型平面上のブラウン運動を用いて微分形式に作用するラプラシアンに対するセルバーグ跡公式の確率解析的証明を与えた、さらにp進上半平面での跡公式に対する準安定過程を用いた確率解析的考察を行った.(3)一般の空間での熱核がガウス型評価をもつための判定のしやすい十分条件を与え,複雑な系の上に拡散過程を構成し,さらに熱核の詳細な評価式を得た.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2002 - 2005

【配分額】31,980千円 (直接経費: 24,600千円、間接経費: 7,380千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】09640246 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

無限次元拡散モデル / フレミング・ヴィオ過程 / 集団遺伝学モデル / 自然選択 / 時間的可逆性 / 確率偏微分方程式 / ランダム環境下のランダムウォーク / ランダム高分子モデル / 可逆定常分布 / 分数冪モーメント / ランダムポリマーモデル / ランダムウォーク / マルチンゲール / 相互作用のある拡散系 / 標本リアプノフ指数 / ブラウン運動

【研究成果の概要】

1. 集団遺伝学において重要な拡散過程モデルである「フレミング・ヴィオ過程」に対して意味のある2つの結果を得た.まず遺伝的要因として突然変異だけでなく自然選択のあるモデルを取り上げ,さらに自然選択の項が非有界な場合を考察した.このモデルに対しては拡散過程としての定義可能性(特に、一意性)さえ未解決の問題であったが、無限次元拡散過程として一意的に構成する問題、定常分布の一意性などはイーシア教授(ユタ大学)との共同研究で証明した。さらに離散的マルコフモデルからの拡散近似や定常分布の一意性の問題も解決した.強い意味でのエルゴード性も成立すると予想されるがこれは未解決である.
さらに自然選択も含めたモデルに対し,時間的可逆分布が存在するクラスの完全な特徴づけをDirichlet spaceの理論を応用することにより与えた.この結果は遺伝子系図のの考察に際して重要な意味をもつ.(志賀)
2. 時空的に変動するランダムな環境におけるランダム・ウオーカーの生存確率の問題に対しては、ボアソン的ノイズをもつ線形確率偏微分方程式との双対的関係を用いて、径数に関する漸近解析を展開し、その結果は古尾谷との共同論文として発表した。さらに「Directed polymer model」の問題は上記の生存確率の問題と数学的内容を共有しており,この立場から高分子モデルの中心極限定理の成否の状況を空間次元とのからみで詳しく調べた。また低次元「Directed polymer model」に対し,分配関数の漸近挙動に関する結果を得た.(志賀)
3. 相互作用のある多粒子の古典力学系に対し、適当なスケール極限をとることにより経験分布は極限分布し収束し、極限分布の密度関数は非線形拡散方程式の解になるという流体力学極限の問題を解決した。(内山)
4. cofinite Fuchsian groupsにおける力学系に対し、それをMarkov systemsとみたときのtransfer operatorsの摂動解析を展開し、数論に関連するエルゴード論の問題を解決した。(盛田)
5. 数理ファイナンスの理論に動機づけられて,連続局所martingaleが一様可積分になるための必要十分条件を与えた.(高岡)

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1998

【配分額】3,000千円 (直接経費: 3,000千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】08454037 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

無限次元拡散モデル / 相互作用のある拡散系 / 標本リアプノフ指数 / ランダムウォーク / ブラウン運動 / ランダム環境下のランダムウォーク / 拡散方程式

【研究成果の概要】

研究実施計画に基づいて研究を推進し以下で述べる成果を得た。
1)相互作用のある拡散系は、統計物理や数理生物の多くの興味深いモデルを含み、その確率解析は無限次元拡散過程の研究にも重要な意味をもつ。その観点から従来、定常分布が多様に存在する状況下でのエルゴード的挙動を研究してきたが、今回は定常分布が自明な場合または存在しない場合のエルゴード的挙動の研究に取り組み、有限系からの近似におけるエルゴード的挙動に関する新しい結果を得た。(Cox-Greven-志賀)
また、相互作用のある拡散系と一般化された逆正弦法則の問題との関連も明らかになりつつあり、論文として準備中である。(志賀)
2)無限次元線型マルコフ系の新しいクラスを導入し、対応する標本リアプノフ指数の定義可能性の証明およびカップリング径数に関する漸近挙動を調べ、径数が小さい領域では有限系、無限系ともに同一のオーダーをもつことを証明した。(古尾谷-志賀) このアイディアはランダム環境中のランダムウォークの生存確率の漸近解析に適用可能であり、その結果は論文として掲載予定である。(志賀)
3)ランダムウォークおよびブラウン運動について種々の観点から研究を進め、2次元ランダムウォークのポテンシャル核の精密な漸近解析(深井-内山)、さらに時空的観点からのウィーナーテストの問題を解決した。(深井-内山) また、ブラウン運動が導く道空間上のある種の保測変換と数々のブラウン汎関数の同分布性との関連を解明した。(高岡)
4)線型拡散方程式に対する混合問題の非負解の一意性が成り立つための領域の形に関する必要十分条件を与えた。(村田)また、常微分方程式系とそれに拡散項を付けた非線形拡散方程式を解の爆発問題の観点から研究し、常微分方程式系のあらゆる解は原点に収束するのに,その常微分方程式系に拡散を付けた方程式の解は爆発するという興味深い例を見つけた。(二宮)

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1996

【配分額】4,500千円 (直接経費: 4,500千円)