【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】16H03946 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

函数方程式 / 非線形解析 / 不可逆過程 / 発展方程式 / 函数解析 / 偏微分方程式 / 変分法 / 無限次元力学系 / 解析学 / 関数方程式

【研究成果の概要】

拡散現象に代表される不可逆現象は，時間の一方向性や老化現象，物体の破損など我々の生活と密接に関わる重要な現象の要因である．そのような不可逆現象の古典論は前世紀に確立したが，その後古典論の範疇から逸脱する重要な現象か数多く発見され，それらに対応すべく数理解析の研究が行われている．本研究課題では，様々な不可逆現象の記述に現れる新しい数理モデルに対応できる発展方程式論の新たな枠組みを構築した．特に破壊・損傷現象等に現れる強い不可逆性を伴うフェーズフィールド方程式，及び異常拡散等の記述に現れる分数冪ラプラス作用素を伴う非局所発展方程式に関しては基盤となる解析法が確立し，それぞれ系統的な研究を行った．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2016-04-01 - 2020-03-31

【配分額】13,520千円 (直接経費: 10,400千円、間接経費: 3,120千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】21340032 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析学 / 関数解析学 / 発展方程式 / 非線形偏微分方程式 / 変分法 / 関数解析 / 非線形発展方程式 / 関数方程式 / 非線形現象

【研究成果の概要】

物理・工学に現れる様々な非線形偏微分方程式(非線形楕円型方程式,非線形拡散方程式,非線形波動方程式,非線形シュレディンガー方程式及びそれらが結合した方程式系)に対して非線形発展方程式論の立場から,非線形関数解析学,実函数論,常微分方程式論,変分法などの手法を用いて総合的な研究を行った.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009 - 2012

【配分額】17,290千円 (直接経費: 13,300千円、間接経費: 3,990千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】17740071 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

関数解析学 / 関数方程式論 / 解析学 / 解析評価 / 数理物理 / 変分法

【研究成果の概要】

(i)
次ページの論文[2][4]において,非一様媒質の光導波管を表す非線形シュレディンガー方程式の定在波解の安定性及び不安定性の考察をした.ここでいう安定性とは.定在波解に小さな摂動を加えて時間発展させても、やはり定在波解に近い状態であり続けるという意味であるが,定在波解の安定性が,非一様媒質の屈折率を表す関数の,遠方での減衰オーダーや.原点での特異性のオーダーに依存する事を明らかにした.
さらに,一様な媒質を考えた場合と比較すると,定在波解が不安定になりやすいということがわかった.非一様媒質における非線形シュレディンガー方程式の定在波解の安定性の研究は,1980年代後半にAkhmediev, Jones, Grillakis, Shatahand Straussらによって3層媒質という特別な場合について分岐理論を用いて調べられていたが,一般的な媒質の場合に分岐理論を適用しようとすると,考え得る非線形構造に制限がかかってしまう.そこで,より一般的な媒質に関して調査した.より一般的な媒質を考えることで,方程式の持つスケール不変性が崩れるため,定在波の振動数に関する漸近的な解析手段を応用し,問題解決を図った.
(ii)
非線形楕円型方程式の解について,複素数値関数の解の指数減衰とそのシャープな減衰オーダーについて考察した(論文[1][3]).
このような減衰オーダーは今までの手法では,常微分的な方法に頼っていたため取り扱う解が正値球対称であることが必要であった.しかし部分積分を基本にした非常に簡潔な証明によってより一般的な解についても適用できるよう拡張した.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2005

【配分額】1,400千円 (直接経費: 1,400千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】16340043 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形発展方程式 / 非線形楕円型方程式 / 非線形偏微分方程式 / 変分法 / 劣微分作用素 / 関数方程式 / 関数解析 / 非線形現象

【研究成果の概要】

(i)本研究によって開発された、「L^∞-エネルギー法」を、時間微分の非線形項を有する非線形放物型方程式に応用し、一意的時間局所解を構成した。従来の方法では、一意性を導くのが困難であったが、高い微分可能性を保証することで、これが可能になった。さらに、この手法は、走化性粘菌の行動を記述する非線形放物型方程式系やヒステレシス項を有する方程式系にも有効であることがわかり、従来の研究より大幅に弱い条件のもとで、解の存在、一意性が得られることが示された。
(ii)p-Laplacianを主要項に持つ準線形放物型方程式に対する初期値境界値問題に対して全ての解軌道を引き付ける無限次元の「大域アトラクター」が、L^2で構成された。無限次元の大域アトラクターを持つ例は、半線形放物型方程式では全く知られておらず、このような新奇な現象が発見されたことは、極めて重要である。一方で、主要項にp-LaplacianとLaplacianを含む、ある種の特殊な準線形放物型方程式に対して、あるクラスに属する初期値から出発する解軌道を、時間に関して指数的に引き寄せる、有限フラクタル次元を持つ「指数アトラクター」の存在が示された。これから特に、大域アトラクターが有限次元であることが導かれる。すなわちこれらの知見は、半線形放物型方程式とはことなり、準線形放物型方程式に対する大域アトラクターの有限次元性と無限次元性とを支配する何らかの構造が内包されていることを示唆しており、今後の極めて重要な研究課題を提示している。
(iii)時間に関する依存性をもつ劣微分作用素に支配される抽象放物型方程式のCauchy問題、周期問題に対して、劣微分作用素の近似列がMoscoの意味で方程式を支配する劣微分作用素に収束するとき、対応する近似解は、もとの方程式の解に強収束することが示された。周期問題に対しては、この問題は長く未解決問題として残されていた重要なものであり、これが肯定的に解決されたことは大変意義深い。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2004 - 2007

【配分額】17,490千円 (直接経費: 16,200千円、間接経費: 1,290千円)