【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】16H03938 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / ラフパス / 非整数ブラウン運動 / 確率微分方程式 / ラフ微分方程式 / 近似誤差分布 / 無限次元空間 / 経路依存方程式 / マリアバン解析 / 熱核 / パス空間 / 弱ポアンカレ不等式 / リッチ曲率 / 確率論 / 解析学 / 関数解析学 / 関数方程式論 / 数理物理

【研究成果の概要】

確率微分方程式およびラフパスで駆動される微分方程式の研究を行った。
具体的には、(1)半空間の場合の反射壁の確率微分方程式を含むような経路依存方程式のオイラー近似およびWong-Zakai近似の収束オーダーも込めた研究,(2)非整数ブラウン運動で駆動される1次元確率微分方程式の解の近似誤差分布の漸近挙動の決定, (3)一般の領域で定義された反射壁確率微分方程式や1次元ブラウン運動の場合の最大値過程を含むようなperturbed reflectedSDEを含むクラスのラフ微分方程式の解の存在の証明などの研究を行った.また, (2)の研究の多次元版の研究も行った.

【研究の社会的意義】

確率過程論においては, セミマルチンゲールというクラスの確率過程は基本的かつ重要であり, その解析は伊藤の確率解析としてよく知られている。しかし、一方このクラスに属さない重要な確率過程(例えば非整数ブラウン運動)も数多く、それらの確率過程の解析の重要性は様々なテクノロジーの発展とともにますます高まっている。これらの確率過程の解析においてラフパス解析は必須であり、本研究では、これらの確率過程で定まる微分方程式, Rough differential equationの解の基礎的研究を行った。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2016-04-01 - 2020-03-31

【配分額】8,060千円 (直接経費: 6,200千円、間接経費: 1,860千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】21540164 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析学 / 関数方程式 / 関数解析学 / 確率論 / 放物型方程式 / 熱核 / 積分表示 / 楕円型方程式 / グリーン関数 / 半小摂動 / マルチン境界 / 非負値解

【研究成果の概要】

リーマン多様体上の筒状領域での放物型偏微分方程式の非負値解の構造を研究し、一般的でほぼ最適な仮定[定数関数1が随伴楕円型作用素の半小摂動である]の下で任意の非負値解の具体的な積分表示を与えた。さらに、球対称リーマン多様体上の熱方程式を研究し、「定数関数1が付随する楕円型作用素の半小摂動である」ための幾何的な特徴付けと初期値問題の非負値解の一意性が成り立つための最適な十分条件を与えることにより、熱方程式の非負値解の構造を解明した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】19540144 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 関数解析学 / 応用数学 / ファイナンス論 / 数理ファイナンス / 価格付け理論 / 非完備市場 / リスク測度 / 効用関数 / 同値martingale測度 / Orlicz space / semimartingale

【研究成果の概要】

Good deal boundsの研究に現れるショートフォールリスク測度に関する研究の総仕上げを行った.ショートフォールリスク測度とは,条件付請求権の売り手がうまく戦略を組んでショートフォールリスクをある閾値以下にできる最低価格を表す凸リスク測度である.このショートフォールリスク測度により,条件付請求権の価格の候補を求めることができる.
平成21年度の前半では,20年度までに得られた結果を,原資産価格過程が非局所有界である場合に拡張すると共に,admissible戦略が凸錘や凸に制約された場合についても論じることに成功した.さらに後半では,inf-convolutionに関する研究を行い,これをショートフォールリスク測度の表現の導出へ応用した.その結果,これまでに得られていたショートフォールリスク測度の表現は,Orlicz空間のうちOrlicz heartと呼ばれるものを対象としてきたが,これを完全に一般のOrlicz空間に拡張することに成功した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2007 - 2009

【配分額】2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】19340032 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析学 / 関数解析学 / 確率論 / 表現論 / 調和解析 / 表現の指標 / 対称群 / ヤンググラフ / 環積 / 無限対称群 / 漸近挙動 / 指標 / 量子確率論

【研究成果の概要】

巨大な群上での調和解析の展開に向けて、確率論と表現論の融合的な研究を推進した。調和解析とは、事物の対称性に着目することによって深い数学的構造を見出し、それに立脚した解析を行う学問分野である。本研究では、無限自由度をもつ大規模な対象を扱うため、その対称性を記述する群として巨大な群が現れる。得られた成果の中で最も主要なものは、(i)調和解析の素子となる指標と呼ばれる関数の分類と具体形を与える公式、および(ii)群の表現の漸近挙動と確率論の極限定理をつなぐ一連の結果である。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2007 - 2010

【配分額】14,040千円 (直接経費: 10,800千円、間接経費: 3,240千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】17340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析学 / 関数方程式論 / 解析・評価 / 関数解析学 / 確率論 / 放物型方程式 / 熱核 / 積分表示 / 楕円型方程式 / グリーン関数 / 半小摂動 / マルチン境界 / 非負値解 / 小摂動性 / 拡散過程 / 漸近解析 / 楕円形方程式 / 正値解 / 一意性

【研究成果の概要】

放物型偏微分方程式に対する初期値・境界値問題の非負値解の一意性定理を応用して、歪積型楕円型方程式のマルチン境界を決定する方法を与えた.また、リーマン多様体上の筒状領域での2階放物型偏微分方程式の非負値解の構造を精力的に研究し、熱核に対する一般的な仮定IU「intrinsic ultracontractivity]の下で任意の非負値解の具体的な積分表示を与えた.さらにIUから[定数関数1が随伴楕円型作用素の小摂動である]ことが従うことも示した.一方、土田哲生とともに周期係数楕円型作用素を研究し、グリーン関数の漸近形を与えるとともに極限吸収原理を示した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】6,900千円 (直接経費: 6,000千円、間接経費: 900千円)