【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】14204011 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

異方性 / ベルグ効果 / 自己相似解 / 適正粘性解 / 非線形拡散型 / 特異垂直拡散 / バーガーズ方程式 / ナヴィエ・ストークス方程式 / 最大値原理 / 等高面法 / 粘性解 / 曲率流 / 画像処理 / 国際研究者交流 / 多国籍 / 表面エネルギー / 平衡形 / 自由境界問題 / ラプラス方程式 / 均質化理論 / 強拡散 / 不連続解 / エントロピー解 / 大域可解性

【研究成果の概要】

構造の異方性を反映した非線形拡散型偏微分方程式の解の形状が異方性や拡散効果によってどのように変化していくかを解明するための数学的基礎をいくつかのテーマにわたって築いた。以下、代表的な結果についてのみ述べる。
(i)結晶表面の運動を記述する方程式:雪結晶のように表面エネルギーの異方性が強い場合、その平衡形にファセットと呼ばれる平らな面が現れることがある。駆動力は結晶の外の拡散場になって定まり、拡散場は結晶の形状によって定まる自由境界問題であるが本研究では、(a)ファセットが維持できるとした場合の初期値問題の時間局所可解性;(b)ファセット上での拡散場の大小を主張するベルグ効果の証明;(c)ファセットが曲がってしまうための必要十分条件;(d)自己相似解の存在する十分条件と自己相似解について、その大きさによるファセットが曲がってしまう条件の記述;(e)平衡形の近くではファセットは維持できることの厳密な証明。といったさまざまな重要な結果を得た。なお、結晶形は円柱としている。ベルグ効果では円柱外でのラプラス方程式ノイマン問題の解についての基本的結果を得た。変分法や常微分方程式の結果を巧みに応用することによって上述の結果を得た。今後、ファセットが折れ曲がってからの解の追跡が求められる。
(ii)流体力学の方程式:非粘性バーガーズ方程式では、不連続性を許したエントロピー解の概念を用いれば、時間大域的に一意に解ける非線形項が発散型でかけるということが大前提であり、他の問題に適用できなかった。本計画の直前に代表により導入された適正粘性解の概念は有効である。本計画ではそれを数値計算する上で重要な解のグラフ空間での特異垂直拡散の概念を確立し、適正粘性解を等高面法で数値計算することに成功した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2002 - 2005

【配分額】48,880千円 (直接経費: 37,600千円、間接経費: 11,280千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】10304010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非局所的曲率 / 高階拡散 / ファセット / クリスタライン運動 / 等高面法 / 異形性 / ラヴィエ・ストークス方程式 / 下半連続性 / 粘性解 / 非局所的拡散効果 / 適正粘性解 / 異方性 / ナヴィエ・ストークス方程式 / 2次元流 / 界面支配モデル / 表面エネルギー / 等高面の方法 / 非局所的曲率流方程式 / 非線形拡散方程式 / 非線形 / 非平衡 / 拡酸 / 高階微分方程式

【研究成果の概要】

非線形非平衡現象では拡散効果の役割はしばしば重要である。この役割を解明するために、主に次の4つのテーマを研究した。(i)非局所的曲率のある界面ダイナミクス、(ii)高階拡散項のある界面ダイナミクス、(iii)おりたたみエネルギー、(iv)ナヴィエ・ストークス方程式の初期値問題。
(i)結晶表面の成長は、界面支配モデルでは駆動力付の曲率流方程式で記述される。表面エネルギーの異方性が強くウルフ図形に平らな面(ファセット)が現れる場合がよくある。この場合は拡散効果が非局所的と考えられるので、解の概念さえはっきりしなかった。そこで曲線の運動の場合、等高面法を拡張することにより解の概念を定式化し、比較定理・収束定理を証明した。この結果の応用として、一般の方程式に対してクリスタライン運動が滑らかの表面エネルギーによる運動の極限となっていることを示した。曲率効果が非局所的なので、この研究はむずかしく完成までに200ページ以上を要した。
(ii)表面拡散運動には1、4階の拡散効果がはいっている。2階のモデルに比べ、4階の挙動は大きく異なっている。例えば、解の凸性や、自己非効性の性質が、有限時間で失いうることを示した。
(iii)このエネルギーは、密度に2階微分のあるエネルギーの極限と考えられる。このエネルギーの下半連続性を示した。この研究は多くの研究の引き金になった。
(iv)初期値が有界で、必ずしも空間無限達で減衰しない場合に、空間2次元ナヴィエ・ストークス流を時間大域的に一意的に存在することを示した。
この研究のほかに'非線形偏微分方程式'(共立)という単行本を出版した。この本では、平均曲率流方程式のちぎれ現象や過度方程式の解の時間大での挙動について新しい結果をも含めて解説した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1998 - 2001

【配分額】38,830千円 (直接経費: 36,100千円、間接経費: 2,730千円)