【研究領域課題番号】21H00989 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / ラプラシアン

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2021-04-01 - 2024-03-31

【配分額】17,290千円 (直接経費: 13,300千円、間接経費: 3,990千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】17H02849 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / 距離空間 / 力学系 / Harnack 不等式 / 等角次元 / ラプラシアン / 解析学

【研究成果の概要】

空間の性質を理解するための基礎理論の研究を行った。具体的にはコンパクトな距離空間の分割とその上の重み関数という概念を導入し、距離や測度に対応する自然な重み関数を定義した。この観点から、分割上の重み関数は距離や測度を包括する概念と考える事ができることを示し、更に重み関数が距離に対応するための必要十分条件が、分割と重み関数から決まる無限グラフがグロモフの意味で双曲的であること、重み関数の世界では、距離と距離が疑対称的であることと、測度が距離に対して2倍的である事が同じ概念であること、更に距離空間のアールフォース正則等角次元がエネルギーの臨界指数に一致することを示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2017-04-01 - 2020-03-31

【配分額】17,810千円 (直接経費: 13,700千円、間接経費: 4,110千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】26287017 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / ラプラシアン / Dirichlet form / 力学系 / タイリング / 自己相似集合 / 確率過程 / 拡散過程 / 複素力学系

【研究成果の概要】

自己相似集合や力学系の不変集合などの代表的なフラクタル集合において、その集合を特徴付ける代数的・幾何学的な構造とその上の解析学の相互関係について研究を行った。具体的には、例えば、一般化されたシルピンスキーカーペット上のブラウン運動の特異な測度に対する時間変更について、弱幾何級数的という条件の下で、ポアンカレ不等式を確立し、連続な熱核の存在を示し、測度から定義される距離もどきを用いた熱核の漸近評価を得た。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2014-04-01 - 2017-03-31

【配分額】16,380千円 (直接経費: 12,600千円、間接経費: 3,780千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】23340025 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 解析学 / 確率論 / 力学系 / ラプラシアン / 熱核

【研究成果の概要】

本研究においては、フラクタル集合を、その構造に注目し、解析学・幾何学・代数学にわたる広い視点から考察した。特に、フラクタル的な構造をもつ物体の上の波や熱伝導などの物理現象の数学的モデルとして、フラクタル上の確率過程論・ポテンシャル論について、例えば熱の時間的広がりと空間的広がりが分かるための一般的な条件を明らかにした。さらに、空間に無限個の穴がある場合の、平衡状態での熱の分布に関して、その解析学的な性質を考察し、熱分布が滑らかであるための条件を得た。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2011-04-01 - 2014-03-31

【配分額】18,590千円 (直接経費: 14,300千円、間接経費: 4,290千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】19204010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / 確率微分方程式 / マリアバン解析 / ラプラシアン / 拡散過程 / 熱核 / 流体力学的極限 / 数理ファイナンス / ディリクレ形式 / ベッセル過程 / 安定過程 / 多様体 / 一般化逆ガウス分布 / 大偏差原理 / マルコフ連鎖 / フラクタル / 第一固有値 / ウィナー空間 / ラフパス / シュレディンガー作用素 / 数値解析

【研究成果の概要】

代表者,分担者のみならず日本国内の研究者の研究の進展に役立てるため,2件の国際会議を含む研究集会を毎年複数開催して日本内外の研究者の研究連絡,共同研究などを行った.また,海外の研究者の招聘し,さらに研究代表者,分担者,連携研究者が海外の研究集会に参加し,研究者を訪問した.これらの活動を通して,確率解析の理論の発展に寄与し,統計力学に起源をもつ問題,微分方程式論,多様体のスペクトル,数理ファイナンスなどの研究への応用に関する研究成果を得た.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2007 - 2010

【配分額】32,500千円 (直接経費: 25,000千円、間接経費: 7,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】14340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / 複素力学 / タイリング / ラプラシアン / 自己相似集合 / 拡散過程 / ジュリア集合

【研究成果の概要】

本研究はフラクタルを解析学、確率論、エルゴード理論、力学系、応用数学の様々な視点から総合的にとらえること目的としている。初年度(14年度)および最終年度(16年度)に京都において本研究課題を中心テーマとする研究集会をおこない、初年度においてはこれからの研究の方向について、最終年度については本研究で得られた成果にういてそれぞれ検討をおこなった。本研究で得られた成果の主なものは以下のとおりである。木上は、volume doubling条件の元では、Li-Yau型の上からの熱核の評価が局所Nash不等式と脱出時間の評価に同値であることを明らかにし、その応用としてフラクタル上の熱核の性質を詳細に調べた。熊谷は、Barlow-Bassらと共同で、熱核のLi-Yau型の評価の摂動に関する安定性を示した。伊藤は、ベータ変換とそれに対応するタイリングの代数的な性質を明らかにした。佐藤はフラクタルをマルチン境界とするような確率過程の構成を行った。亀山は、複素力学系に現れるジュリア集合が自己相似集合となるための条件を明らかにした。日野はSierpin ski carpet上の自己相似的なDirichlet形式のエネルギー測度は任意の自己相似測度と特異的であることを示した。さらに木上と亀山は自己相似集合の位相的性質とその上の拡散過程の性質の関係を明らかにした。また木上と熊谷はHamblyと共同で、フラクタル上の熱核の漸近的性質のマルチフラクタル性を明らかにした。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2002 - 2004

【配分額】14,300千円 (直接経費: 14,300千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】14654035 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

自己相似集合 / ラプラシアン / スペクトル / 力学系 / フラクタル / 拡散過程 / 多変数複素力学系

【研究成果の概要】

木上は一般の測度-距離空間上のディリクレ形式から定義される熱核に対して、測度のvolume doubling propertyのもとでexit timeの評価とlocal Nash inequalityが熱核のある種の上からの評価と同値であることを示した。その結果を線分上のブラウン運動を自己相似測度に関して時間変更した拡散過程の熱核に応用し、測度がvolume doublingであるときに熱核の詳細な評価を得た。さらに一般のresistance formに対して、境界が有限個の点である場合のgreen関数の定義をあたえ、そのgreen関数がresistance metricに関して一様Lipschitz連続であることを示した。また、green関数を用いて測度に値を持つLaplacianの定義を与えるとともに自己相似集合上のディリクレ形式の定義域、Laplacianの定義域の関数のresistance metricに関するLipschitz連続性を考察した。
熊谷は、異なった次元を持つフラクタルを張り合わせた空間上の拡散過程の研究を行った。まずベゾフ空間のトレースの理論を援用することで2次形式の正則性を示し、熱核の短時間挙動についての詳しい評価をえた。その評価を用いて短い時間スケールでみたとき粒子が最も通りやすい経路のエネルギー関数の変分問題の解としての特徴付けを得た。さらにベゾフ空間の理論の応用として、(フラクタル集合を自然に含む)d-setと呼ばれるクラスの集合の上に飛躍型対象マルコフ過程と対応するディリクレ形式を構成した。また対応する熱核の詳細な評価を得て、過程の再帰性や粒子の軌跡のハウスドルフ次元に関する結果を得た。
宍倉は自己相似集合上のLaplacianに付随する高次元の複素力学系に関係して、高次元複素力学系の不変集合(ジュリア集合、ファツウ集合を含む)の構造、繰り込みおよび力学系に付随するポテンシャル(グリーン関数)に関する研究を行った。

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2002 - 2003

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)