【研究領域課題番号】19H00643 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ディリクレ形式 / 確率解析 / マルコフ過程 / フラクタル / マルコフ課程

【研究成果の概要】

当該期間の研究実績の概要は以下の通りである。日野は，滑らかとは限らない境界を持つ領域上の非リプシッツ係数反射壁確率微分方程式の研究を行い，解の存在と一意性について従前より一般的な結果を得た。
楠岡は，指数関数を相互作用に持つ確率場とその流れの構成について研究を行った。近年研究が盛んな特異確率偏微分方程式の手法を用い，確率量子化方程式の解として確率場が作る流れを構成し、以前から知られていたディリクレ形式から得られる流れとこの解が一致することを示した。
竹田は，ディリクレ形式を主要部に持つシュレディンガー形式に対して，その劣臨界性，臨界性，優臨界性の解析的特徴付けを，ポテンシャルを通して決まる時間変更過程の最小固有値によって与え，その応用として最大値原理やリューヴィル性の証明を行った。
上村は，対称安定過程のレヴィ測度に，原点や無限遠点において退化あるいは発散する密度を持った飛躍測度に対応するマルコフ過程の大域的性質を研究した。
会田は，補間過程を用いたラフ微分方程式(RDE)の解の近似誤差分布の漸近挙動を研究した。そのため，離散版の被制御パスを用いた誤差評価，RDEの解で定まる逐次積分のマリアバン微分可能性の新証明，分数冪ブラウン運動のウィーナーカオスの核関数の，短時間での高次元変動ノルムの正確な評価を与えた。
桑江は，リーマン多様体上のベクトル場VによるV-Laplace作用素を考え, Vに対応するm-Bakry-Emeryリッチテンソルをパラメータmが1以下の場合に起点及びmとVが絡んだ下限条件を与えたときに, V-Laplace作用素の比較定理を得た。副産物として, 起点に依存する形の重み付きMyers型定理, Bishop-Gromov型比較定理, Ambrose-Myers型定理, Cheeger-Gromov型分裂定理等を得た。また不変測度に近い測度を定めることに成功した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2019-04-01 - 2024-03-31

【配分額】43,290千円 (直接経費: 33,300千円、間接経費: 9,990千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】26247008 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

対称マルコフ過程 / ディリクレ形式 / 測度空間上の確率解析 / 準定常分布 / エルゴード定理 / 測度距離空間上の幾何解析 / 特異空間上の拡散過程 / 無限次元確率解析 / 測度距離空間 / 無限次元空間上の確率解析 / 飛躍型マルコフ過程 / ラフパス解析 / マルコフ過程 / 幾何解析 / フラクタル / 測度距離空間上の解析 / ファインマン・カッツの公式 / 特異空間上の幾何解析

【研究成果の概要】

一次元拡散過程の場合にはフェラーの境界分類をとおして、半群のスペクトル的性質が分かる。より一般の対称マルコフ過程に対しては、一次元拡散過程に近い性質を持つクラスの導入が大切である。そこで、レゾルベントが緊密性とよばれる性質を持つ対称マルコフ過程のクラスを定義し、一次元拡散過程の次に考察すべき対象として提案した。このクラスに属する対称マルコフ過程は、保存的な場合には一様超指数再帰性とよばれる強いエルゴード性を示し、保存的でない場合には早い爆発を表す。マルコフ半群はコンパクト作用素となり、すべての固有関数は有界連続関数になることを示した。保存的でない場合には準定常分布の存在と一意性が導かれた。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2014-04-01 - 2018-03-31

【配分額】30,680千円 (直接経費: 23,600千円、間接経費: 7,080千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】11440029 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

拡散過程 / Dirichlet形式 / フラクタル / Sierpinski Carpet / 等周不等式 / マルコフ過程 / ランダム行列 / determinantal random point field / Dirichlet form / heat kernel / ディリクレ形式 / パーコレーション

【研究成果の概要】

本研究は研究代表者が開発したDirichlet形式を用いた拡散過程のある構成法をSierpinskiカーペットを代表とする無限分岐的フラクタル、さらに無限粒子系の空間やパス空間といった無限次元空間など興味深いが通常の方法ではその上に拡散過程を構成しにくい空間に拡散過程を構成しその性質を調べることを目的とした。研究の発端となったフラクタルの場合にはハウスドルフ測度に対する特異時間変更でパスの連続性が保たれることを証明し、結果としてブラウン運動とは異なるがハウスドルフ測度を不変測度とする自己相似拡散過程をフラクタルの上に構成することができた。ランダムフラクタルについては「バブル」と呼んでいる自然な統計的自己相似性を持つフラクタル集合を考え出し、上に述べた拡散過程の構成方法の一般論の部分から、この上に拡散過程を構成した。これが如何によい性質を持っているかを突き詰めていくのは今後の課題となった。また、フラクタルの上のパーコレーションについていくつかの新しい知見が得られた。無限粒子系の空間に関しては、定常測度が「determinantal random point field」と呼ばれるランダム行列の理論と関係が深い確率測度のクラスに対して、あるレベルでで拡散過程の構成を行うことができた。このクラスは従来のRuelleクラスのGibbs測度とはまた違った範疇のもので今後研究が進展していくと思われる。パス空間の場合にはその上のGibbs測度の存在およびそれを定常状態とする拡散過程の構成を行った。Gibbs測度の混合性についてもいくつかの知見を得た。だが、この無限次元拡散過程の興味深い性質の探求は今後の課題である。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2002

【配分額】12,900千円 (直接経費: 12,900千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】05302012 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 確率解析 / マルコフ過程 / エルゴード理論 / 無限粒子系 / 流体力学極限 / 数理物理 / 数理生物 / 大偏差原理 / フラクタル / 多様体 / ウィーナー空間

【研究成果の概要】

平成5年度からの2年間にわたり、「確率論の総合的研究」をテーマに確率論およびその関連領域における諸問題に取組み、研究分担者および日本数学会確率論部門の多くの研究者の協力を得て共同研究を遂行した。まず近代確率論研究の基礎である確率解析の理論の深化を目指した2つのシンポジューム「Wiener空間上の解析学」、「確率解析」を組織した。ここでは伊藤清、福島正俊により創始された「確率解析」「Dirichlet空間の理論」の新しい展開をめざす先駆的な研究成果が数多く生み出した。また解析学・幾何学に関連する話題を中心とした「マルコフ過程に関連した解析学」「多様体上の確率解析および大偏差原理」と題するシンポジュームを解析学・幾何学の研究者を招いて開催し、そこでの討論をもとに新しい方向の研究が生まれた。物理学・生物学などの自然科学への確率解析の応用をめざして、「数理物理、数理生物における確率解析」「フラクタルとその周辺」「無限粒子系、流体力学極限とその周辺」と題するシンポジュームを開催し、物理学や生物学の研究者との研究交流で新しい諸問題を発掘した。さらに、制御理論を中心とする工学、最近注目されつつあるファイナンス理論などの数理経済学、さらには社会学への数理的アプローチにも確率解析の手法が有効であり、それらに関する諸問題を議論するためのシンポジュームとして「確率論と中心とした数理モデルの理論と実際」「確率解析の応用」を開催した。そのほかにも確率論全般にわたる最新の結果を発表・討論する場として「サマースクール」「Gauss過程,安定過程とその応用」「確率過程とその周辺」「エルゴード理論とその周辺」などの研究集会を開催し多大の成果をあげた。その成果についての詳細は研究成果報告書として出版した。

【研究種目】総合研究(A)

【研究期間】1994

【配分額】18,500千円 (直接経費: 18,500千円)

【研究分野】代数学・幾何学

【研究領域課題番号】02452004 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ヤングミルズ場 / 調和写像 / 変分問題の安定性 / 作用素環 / セルフシミラリティ- / フラクタル / 結び目理論 / マルコフ過程

【研究成果の概要】

今年度は昨年に引き続き、主として多様体上における解析、特に非線型偏微分方程式の幾何学的取り扱い、多様体上の確率過程等に重点をおいた研究が行われた。菊池、谷による変分問題の解の存在及び正則性について、微分方程式の立場と変分法の立場から同時に解析がされ、調和写像や一般流体の方程式に対する自由境界値問題について結果が出された。前田をはじめとし、ヤングミルズ場の安定性についても上記の解析に深く関連し、弱解の存在をはじめ、正則性に関するいくつかの結果が得られつつある。一方、河添、伊藤、前田により、非可換多様体の構成やその長現論と代数構造についての研究が行われた。具体的には、ワイル多様体の構成や変形量子化一般的可能性について結果を示すことが出来た。現在これらの応用として、ワイル多様体の幾何学的構造の解明や偏微分方程式論への関連について成果が得られている。伊藤、仲田金井他による負曲率多様体上のエルゴ-ド理論の研究について、著しい進展が得られた。特に、仲田によるディオファンタス近似の計量的性質と3次元上半平面の無限遠点での大域的性質との関係が指摘された。自己相似性に関して、前島他らによる研究も多くなされ、自己相似的安定性、定常増分をもつ自己相似安定性について、新しい成果が得られた。確率過程の無限級数展開についての新しい結果も得られた。その他、田中によるランダムウォ-クの時間反転、黒田他によるギブス点過程についての中心極限定理、小山によるル-プ群についてのゼ-タ関数の性質、塩川他による3次元ビリヤ-ドの複雑さ性についての結果、有限幾何や離散幾何学の応用として組合せ理論やグラフ理論への問題について榎本他の多くの研究がなされている。

【研究種目】一般研究(B)

【研究期間】1990 - 1991

【配分額】4,600千円 (直接経費: 4,600千円)