【研究領域課題番号】19H00643 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ディリクレ形式 / 確率解析 / マルコフ過程 / フラクタル / マルコフ課程

【研究成果の概要】

当該期間の研究実績の概要は以下の通りである。日野は，滑らかとは限らない境界を持つ領域上の非リプシッツ係数反射壁確率微分方程式の研究を行い，解の存在と一意性について従前より一般的な結果を得た。
楠岡は，指数関数を相互作用に持つ確率場とその流れの構成について研究を行った。近年研究が盛んな特異確率偏微分方程式の手法を用い，確率量子化方程式の解として確率場が作る流れを構成し、以前から知られていたディリクレ形式から得られる流れとこの解が一致することを示した。
竹田は，ディリクレ形式を主要部に持つシュレディンガー形式に対して，その劣臨界性，臨界性，優臨界性の解析的特徴付けを，ポテンシャルを通して決まる時間変更過程の最小固有値によって与え，その応用として最大値原理やリューヴィル性の証明を行った。
上村は，対称安定過程のレヴィ測度に，原点や無限遠点において退化あるいは発散する密度を持った飛躍測度に対応するマルコフ過程の大域的性質を研究した。
会田は，補間過程を用いたラフ微分方程式(RDE)の解の近似誤差分布の漸近挙動を研究した。そのため，離散版の被制御パスを用いた誤差評価，RDEの解で定まる逐次積分のマリアバン微分可能性の新証明，分数冪ブラウン運動のウィーナーカオスの核関数の，短時間での高次元変動ノルムの正確な評価を与えた。
桑江は，リーマン多様体上のベクトル場VによるV-Laplace作用素を考え, Vに対応するm-Bakry-Emeryリッチテンソルをパラメータmが1以下の場合に起点及びmとVが絡んだ下限条件を与えたときに, V-Laplace作用素の比較定理を得た。副産物として, 起点に依存する形の重み付きMyers型定理, Bishop-Gromov型比較定理, Ambrose-Myers型定理, Cheeger-Gromov型分裂定理等を得た。また不変測度に近い測度を定めることに成功した。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2019-04-01 - 2024-03-31

【配分額】43,290千円 (直接経費: 33,300千円、間接経費: 9,990千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】19204010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / 確率微分方程式 / マリアバン解析 / ラプラシアン / 拡散過程 / 熱核 / 流体力学的極限 / 数理ファイナンス / ディリクレ形式 / ベッセル過程 / 安定過程 / 多様体 / 一般化逆ガウス分布 / 大偏差原理 / マルコフ連鎖 / フラクタル / 第一固有値 / ウィナー空間 / ラフパス / シュレディンガー作用素 / 数値解析

【研究成果の概要】

代表者,分担者のみならず日本国内の研究者の研究の進展に役立てるため,2件の国際会議を含む研究集会を毎年複数開催して日本内外の研究者の研究連絡,共同研究などを行った.また,海外の研究者の招聘し,さらに研究代表者,分担者,連携研究者が海外の研究集会に参加し,研究者を訪問した.これらの活動を通して,確率解析の理論の発展に寄与し,統計力学に起源をもつ問題,微分方程式論,多様体のスペクトル,数理ファイナンスなどの研究への応用に関する研究成果を得た.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2007 - 2010

【配分額】32,500千円 (直接経費: 25,000千円、間接経費: 7,500千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】13894004 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / マリアヴァン解析 / 流体力学極限 / 伊藤解析 / 数理解析研究所プロジェクト研究 / フラクタル / 大偏差原理 / 日本数学会国際研究集会

【研究成果の概要】

本研究は、14年度に予定されている、京都大学数理解析研究所プロジェクト研究「確率解析とその周辺」、日本数学会国際研究集会「大規模相互作用系に関する確率解析」という、確率解析に関する2つの大きな国際研究集会・共同研究を有意義かつ円滑に実施するための企画調査を目的として行われたこのために、以下のように全体会議、海外動向調査、研究者招聘によるコミュニケーションの深化を図った。
1.全体会議について:5月19日に大阪大学において初めての全体会合を持ち、各研究集会の基本的な枠組みについて話し合った。その後、代表者・分担者が各方面と連絡を取り合い、具体的な案作りを行った。これを受けて、10月4日に九州大学において2回目の全体会合を持ち、具体案の確認と今後の作業の分担の仕方について話し合った。
2.海外動向調査について:6月上旬に木上は、オーストリアでフラクタルの国際研究集会において視察・情報収集を行った。また、10月に松本は、フランスでの確率解析の国際研究集会を視察し、Elworthy教授、Yor教授らと、次年度にプロジェクト研究の一環として行われる研究集会の打ち合わせを行った。熊谷は、10月中旬よりイギリスを中心に、フランス、ドイツを2ヶ月に渡り歴訪し、イギリスのLyons教授、フランスのYor教授、Emery教授、ドイツのAlbeverio教授、Sturm教授らと事前の意思疎通を図るとともに近隣大学での最新の研究動向を詳細に調査した。これらの渡航の結果、ヨーロッパを中心とした確率解析の研究動向の最新情報を得るとともに、関連分野研究者とのコミュニケーションを深めることが出来た。
3.研究者招聘について:12月にOxford大学のHambly講師を招聘し、当該分野研究動向の報告を受けた。また、次年度に向けての日本側の準備状況を説明し、理解を得た。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2001

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】12874016 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

複雑度 / 確率解析 / フラクタル / 無限次元空間 / 漸近挙動 / ノイズ / Dirichlet形式 / 半群 / 対称拡散過程 / 確率過程 / ループ空間 / ウィーナー空間 / ディリクレ形式

【研究成果の概要】

本研究に際しては,各研究分担者は密接に連絡を取り合いながら各々が独自のテーマを研究するという形態をとった.実施結果は以下の通りである.
若野は,二次元弾性体中の曲線亀裂先端での応力集中現象の数学解析と数値解析について,二次元「全平面」内の亀裂問題に対して得られていた結果が二次元「有界領域」内の亀裂問題についても同様に成り立つことを検証した.
日野は,一般の局所Dirichlet形式に付随するMarkov半群に関して,積分化されたVaradhan型の短時間漸近挙動について研究を行い,極限が内在距離を用いて表現できることを証明した.系として,フラクタル集合上の対称拡散過程についてwalk次元の評価式を得た.(J.A.Ramirezとの共同研究)
重川は,半群の優評価定理と,交換定理(あるいは交差定理)について主に研究してきた.さらにその応用として,Riemann多様体上でのLittlewood-Paleyの不等式の証明や,L^p乗法作用素定理などの証明を与えた.
熊谷は,空間内に複雑な系が可算無限個存在し,それぞれの系については熱伝導に関する情報がある程度分かっているようなモデルについて,各々の系にしみ込む拡散過程を構成し,その熱核の短時間挙動についての詳しい評価を得た.
渡辺は,WalshのBrown運動勲に関連して,Riemann面上のBrown運動の道に沿った有理型微分形式の積分(Abel積分)の漸近挙動について研究した.また,Tsirelsonが確率過程の表現の問題に関連して導入したノイズの概念に関し,Fellerの1次元拡散過程から比較的容易に構成出来るblack noiseの例を与えた.

【研究種目】萌芽的研究

【研究期間】2000 - 2001

【配分額】1,500千円 (直接経費: 1,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】09304022 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

流体力学極限 / Wiener汎関数 / Dirichlet形式 / 大偏差原理とエントロピー / フラクタル / スペクトルの漸近挙動 / ブラウン運動と酔歩 / 雑音の同型問題 / エントロピー / 大偏差原理 / 確率過程 / 確率解析 / 漸近挙動 / エルゴード性 / スペクトル / データ圧縮

【研究成果の概要】

本研究では3年間に渡り,確率解析、流体力学極限、エルゴード理論など確率論の諸分野の研究を推進し、順調な研究成果を挙げると共に、2,3の新しい動向へも寄与した。
確率解析においては、会田、重川を中心とした対数ソボレフ不等式など、無限次元空間上の関数空間における不等式の役割の認識の深化、および、谷口、松本を中心とした指数型汎関数に対する漸近挙動の研究の進展がとくに顕著であった。また、長田の仕事など、ディリクレ形式の理論に基づく確率解析の一般化という方向性も見逃せない動向である。
流体力学極限は、舟木、内山らを中心として、より現実的な方程式の解明というより困難な状況下で着実な成果を挙げると共に、その中から上記ディリクレ形式論における結果との対比という問題意識が鮮明になり、今後の進展が期待される。
エルゴード理論関係では、盛田による相関関数の研究などの成果を得た。なお、平成9年度に企画した情報理論など周辺分野との勉強会は、韓氏による情報理論における大偏差原理の研究などの波及効果をもたらしている。
古典的な理論、手法の現代的な再生は当初掲げた目標のひとつであった。これに関しては、熊谷らのフラクタル集合上の解析、厚地のネヴァリンナ理論への確率論的接近、濱名の酔歩の汎関数の精密評価、白井らのグラフのスペクトルでの成果が顕著である。
また、長井たちは確率制御理論の手法を援用することにより数理ファイナンスに新しい視点をもたらし、杉田、高信らは確率論的手法を駆使して擬似乱数の理論に貢献している。
さらに最終年度、渡辺信三氏のご尽力により、黒色雑音など雑音の同型問題という、将来大きく発展する可能性の大きい新動向を照会する機会がもてたことは幸いであった。
最後に、外国旅費の制限緩和により、海外の研究者との共同研究が大変スムーズになり、研究の推進に大いに役立ったことを記しておきたい。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】21,700千円 (直接経費: 21,700千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07304020 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確立過程 / 確率解析 / 数理ファイナンス / フラクタル / 流体力学極限 / エルゴ-ト理論 / 確率制御 / ブラウン運動 / 確率過程 / 確率微分方程式 / パーコレイション / 無限粒子系 / シュレ-ディンガー作用系 / 無限次元解析 / 極限定理 / 力学系

【研究成果の概要】

この研究は平成7年度と8年度にわたって行った。内容については研究成果報告書にあるように我国で行われている確立論の多くの分野にわたることについて計12日の研究集会を開き,研究情報の交換を行った。
特にその中でも,数学の他の分野,あるいは数学以外の分野との交流が多く持てたことに大へん意義があった。統計物理,数理生物,数理ファイナンス,数学の分野では討論,微分方程式,スペクトル理論,微分幾何,等々関連する分野の研究に親展があった。
また7年度と8年度に1度づつ夏の学校を開き,若い研究者,学生に対して現在活発に進行中の話題,つまり「流体力学極限」と「エルゴ-ト理論と数論」の2つの主題について,専門の研究者に連続講演をお願いした。これは,若い世代に自分の研究の方向付けを与えるものとして非常に意義深いものであったと思う。
さらに各分野を統合する研究集会を各年の12月に開催した。これにより,ともすれば狭い専門に限られて関心を広げることができたと思う。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1996

【配分額】17,500千円 (直接経費: 17,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】05302012 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 確率解析 / マルコフ過程 / エルゴード理論 / 無限粒子系 / 流体力学極限 / 数理物理 / 数理生物 / 大偏差原理 / フラクタル / 多様体 / ウィーナー空間

【研究成果の概要】

平成5年度からの2年間にわたり、「確率論の総合的研究」をテーマに確率論およびその関連領域における諸問題に取組み、研究分担者および日本数学会確率論部門の多くの研究者の協力を得て共同研究を遂行した。まず近代確率論研究の基礎である確率解析の理論の深化を目指した2つのシンポジューム「Wiener空間上の解析学」、「確率解析」を組織した。ここでは伊藤清、福島正俊により創始された「確率解析」「Dirichlet空間の理論」の新しい展開をめざす先駆的な研究成果が数多く生み出した。また解析学・幾何学に関連する話題を中心とした「マルコフ過程に関連した解析学」「多様体上の確率解析および大偏差原理」と題するシンポジュームを解析学・幾何学の研究者を招いて開催し、そこでの討論をもとに新しい方向の研究が生まれた。物理学・生物学などの自然科学への確率解析の応用をめざして、「数理物理、数理生物における確率解析」「フラクタルとその周辺」「無限粒子系、流体力学極限とその周辺」と題するシンポジュームを開催し、物理学や生物学の研究者との研究交流で新しい諸問題を発掘した。さらに、制御理論を中心とする工学、最近注目されつつあるファイナンス理論などの数理経済学、さらには社会学への数理的アプローチにも確率解析の手法が有効であり、それらに関する諸問題を議論するためのシンポジュームとして「確率論と中心とした数理モデルの理論と実際」「確率解析の応用」を開催した。そのほかにも確率論全般にわたる最新の結果を発表・討論する場として「サマースクール」「Gauss過程,安定過程とその応用」「確率過程とその周辺」「エルゴード理論とその周辺」などの研究集会を開催し多大の成果をあげた。その成果についての詳細は研究成果報告書として出版した。

【研究種目】総合研究(A)

【研究期間】1994

【配分額】18,500千円 (直接経費: 18,500千円)