【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】17H02849 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / 距離空間 / 力学系 / Harnack 不等式 / 等角次元 / ラプラシアン / 解析学

【研究成果の概要】

空間の性質を理解するための基礎理論の研究を行った。具体的にはコンパクトな距離空間の分割とその上の重み関数という概念を導入し、距離や測度に対応する自然な重み関数を定義した。この観点から、分割上の重み関数は距離や測度を包括する概念と考える事ができることを示し、更に重み関数が距離に対応するための必要十分条件が、分割と重み関数から決まる無限グラフがグロモフの意味で双曲的であること、重み関数の世界では、距離と距離が疑対称的であることと、測度が距離に対して2倍的である事が同じ概念であること、更に距離空間のアールフォース正則等角次元がエネルギーの臨界指数に一致することを示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2017-04-01 - 2020-03-31

【配分額】17,810千円 (直接経費: 13,700千円、間接経費: 4,110千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】26610023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析学 / フラクタル / 測度論リーマン構造 / 測度・距離空間 / Dirichlet form / partition / quasisymmetry / volume doubling property / 測度論的リーマン構造 / Dirichlet From / 自己相似集合 / tree / 距離空間 / quaisymmetry

【研究成果の概要】

測度・距離空間上の解析学の展開に向けて、その基礎となる位相空間上の距離と測度に関する bi-Lipschitz 同値、volume doubling property, quasisymmetry, Ahlfors 正則性などの諸性質を、空間の partition とそれに付随する gauge function の観点から統一的に扱う理論の構築を行った。またその理論を用いて、測度と距離の間の bi-Lipshitz 性が Ahlfors 正則と同値であることを示した。

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2014-04-01 - 2016-03-31

【配分額】3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】25287015 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ポテンシャル / 調和 / 容量 / Green核 / 熱核 / Harnack原理 / ネットワーク / フラクタル / 擬等角写像 / Sierpinski gasket / varifold / 解析学 / 関数論 / 関数方程式論 / 確率論 / 幾何学 / グラフ / Brown運動 / レブナー鎖 / 変分公式 / Riemann面 / 境界Harnack原理 / 双曲空間 / 乗数イデアル / Harnack不等式 / 除去可能特異点 / 平均曲率流 / 非線形ネットワーク / Sierpinski carpet / 擬等角変形空間 / ガウス写像 / 熱半群

【研究成果の概要】

調和関数や熱方程式解，Green核，熱核と定義領域の関係や空間複雑性の境界挙動への影響を研究し，ユークリッド空間の複雑領域，多様体，バリフォールド，ネットワーク，フラクタルなど様々な分野に応用した．とくに，除外集合を許したHarnack原理，最小固有値の容量的幅による評価，大域的境界Harnack原理のGreenレベル集合の容量的幅による十分条件，放物型境界Harnack原理（Intrinsic Ultracontractivity）に対応する条件，グラフ領域が大域的境界Harnack原理をみたす臨界連続率，無限における容量密度の極限の0-1法則などに新しい結果を得た．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2013-04-01 - 2017-03-31

【配分額】13,910千円 (直接経費: 10,700千円、間接経費: 3,210千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】23340025 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 解析学 / 確率論 / 力学系 / ラプラシアン / 熱核

【研究成果の概要】

本研究においては、フラクタル集合を、その構造に注目し、解析学・幾何学・代数学にわたる広い視点から考察した。特に、フラクタル的な構造をもつ物体の上の波や熱伝導などの物理現象の数学的モデルとして、フラクタル上の確率過程論・ポテンシャル論について、例えば熱の時間的広がりと空間的広がりが分かるための一般的な条件を明らかにした。さらに、空間に無限個の穴がある場合の、平衡状態での熱の分布に関して、その解析学的な性質を考察し、熱分布が滑らかであるための条件を得た。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2011-04-01 - 2014-03-31

【配分額】18,590千円 (直接経費: 14,300千円、間接経費: 4,290千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18340027 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 解析学 / 応用数学 / 数理物理 / フラクタル / 熱核 / 飛躍型確率過程 / 国際研究者交流 / イギリス:ドイツ:ポーランド / カナダ:アメリカ:ドイツ / カナダ:アメリカ:フランス

【研究成果の概要】

フラクタルやランダム媒質を典型例とした複雑な系の上で、熱がどのように伝導するかといった物理現象を解明するため、系の上の確率過程や対応する自己共役作用素の解析を行った.確率過程論と実解析学の手法を融合させる事により、汎用性の高い解析の方法を確立し、いくつかのモデルについて熱核の詳しい評価を与えた.また、シェルピンスキーカーペット上のブラウン運動の一意性という当該分野の20年に渡る未解決問題を、肯定的に解決する事に成功した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】13,570千円 (直接経費: 11,500千円、間接経費: 2,070千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】17654039 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

熱核 / リーマン計量 / 測地線 / 確率論 / 解析学 / フラクタル / 自己相似集合 / Dirichlet形式 / ランダムウォーク

【研究成果の概要】

木上は、Sierpinski gasket上のstandard Dirichlet formに関するKusuokaの結果をもとに、Sierpinski gasket上のMeasurable Riemannian stturcutreについて研究を行った。その過程で、Kusuokaによるgradient operatorとKigamiによるhamonic Sierpinski gasket上のgradient operatorが本質的に同じものであること、Kusuoka measureがユークリッドの距離に関してvolume doublingであることを示した。
また、harmonic Sierpinski gasket上のshortest path metricがmeasurable Riemannian structureから決まる測地線距離で有ることを示した。さらにこれらの結果を組み合わせて、Kusuoka measureに対応する熱核がLi-Yau型のGaussian estimateを満たすことを証明した。
日野は、(無限分岐的なものも含む)自己相似集合上の自己相似的なDirichlet formのエネルギー測度について研究した。
エネルギー測度が自己相似測度に対して特異的になるための条件を示し、いくつかの興味ある場合に適用した。

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2005 - 2006

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)