【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】25287015 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ポテンシャル / 調和 / 容量 / Green核 / 熱核 / Harnack原理 / ネットワーク / フラクタル / 擬等角写像 / Sierpinski gasket / varifold / 解析学 / 関数論 / 関数方程式論 / 確率論 / 幾何学 / グラフ / Brown運動 / レブナー鎖 / 変分公式 / Riemann面 / 境界Harnack原理 / 双曲空間 / 乗数イデアル / Harnack不等式 / 除去可能特異点 / 平均曲率流 / 非線形ネットワーク / Sierpinski carpet / 擬等角変形空間 / ガウス写像 / 熱半群

【研究成果の概要】

調和関数や熱方程式解，Green核，熱核と定義領域の関係や空間複雑性の境界挙動への影響を研究し，ユークリッド空間の複雑領域，多様体，バリフォールド，ネットワーク，フラクタルなど様々な分野に応用した．とくに，除外集合を許したHarnack原理，最小固有値の容量的幅による評価，大域的境界Harnack原理のGreenレベル集合の容量的幅による十分条件，放物型境界Harnack原理（Intrinsic Ultracontractivity）に対応する条件，グラフ領域が大域的境界Harnack原理をみたす臨界連続率，無限における容量密度の極限の0-1法則などに新しい結果を得た．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2013-04-01 - 2017-03-31

【配分額】13,910千円 (直接経費: 10,700千円、間接経費: 3,210千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】20244007 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

実解析 / ポテンシャル / 調和 / 楕円型方程式 / 放物型方程式 / 複素解析 / Riemann面 / フラクタル / グラフ / Harnack不等式 / 境界Harnack原理 / 楕円型作用素の摂動 / Cauchy積分 / ヘルダー連続性 / 変動指数 / 確率過程 / 平均曲率流 / Dirichlet問題 / Harnack原理 / フェイズフィールド法 / Sierpinski carpet / conformal dimension / 非線形不等式 / 一様領域 / 放物型偏微分方程式 / Klien群 / Random walk / 半線形楕円型方程式 / Rieszポテンシャル / Martin境界 / 正則写像 / 極小尖細 / Markov chain / 放物型ハルナック不等式 / Orlicz空間 / Allen-Cahn方程式

【研究成果の概要】

調和,優調和,劣調和関数などは解析学,幾何学,確率論など多くの分野に現れる重要な関数であり,その性質を調べることをポテンシャル問題という.複雑領域,フラクタル,多様体,関数空間におけるポテンシャル問題を多面的に研究し,関数の深い性質を明らかにした.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2008 - 2012

【配分額】31,070千円 (直接経費: 23,900千円、間接経費: 7,170千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】11440029 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

拡散過程 / Dirichlet形式 / フラクタル / Sierpinski Carpet / 等周不等式 / マルコフ過程 / ランダム行列 / determinantal random point field / Dirichlet form / heat kernel / ディリクレ形式 / パーコレーション

【研究成果の概要】

本研究は研究代表者が開発したDirichlet形式を用いた拡散過程のある構成法をSierpinskiカーペットを代表とする無限分岐的フラクタル、さらに無限粒子系の空間やパス空間といった無限次元空間など興味深いが通常の方法ではその上に拡散過程を構成しにくい空間に拡散過程を構成しその性質を調べることを目的とした。研究の発端となったフラクタルの場合にはハウスドルフ測度に対する特異時間変更でパスの連続性が保たれることを証明し、結果としてブラウン運動とは異なるがハウスドルフ測度を不変測度とする自己相似拡散過程をフラクタルの上に構成することができた。ランダムフラクタルについては「バブル」と呼んでいる自然な統計的自己相似性を持つフラクタル集合を考え出し、上に述べた拡散過程の構成方法の一般論の部分から、この上に拡散過程を構成した。これが如何によい性質を持っているかを突き詰めていくのは今後の課題となった。また、フラクタルの上のパーコレーションについていくつかの新しい知見が得られた。無限粒子系の空間に関しては、定常測度が「determinantal random point field」と呼ばれるランダム行列の理論と関係が深い確率測度のクラスに対して、あるレベルでで拡散過程の構成を行うことができた。このクラスは従来のRuelleクラスのGibbs測度とはまた違った範疇のもので今後研究が進展していくと思われる。パス空間の場合にはその上のGibbs測度の存在およびそれを定常状態とする拡散過程の構成を行った。Gibbs測度の混合性についてもいくつかの知見を得た。だが、この無限次元拡散過程の興味深い性質の探求は今後の課題である。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2002

【配分額】12,900千円 (直接経費: 12,900千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】09640298 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

くりこみ群 / フラクタル / 漸近一次元拡散 / 等方性の回復 / カイラルアノマリー / self-avoiding path / ゼータ関数 / 可解格子模型 / self-avoidingpath / 場の量子論 / 極限定理 / スケール変換 / 指数 / 非等方性 / 電気抵抗回路 / シルピンスキーカーペット / abc gasket / infinitely ramified fractal

【研究成果の概要】

本研究の短期的な目的は、くりこみ力学系の軌道の大局的構造の追跡という観点からフラクタル上の確率モデルの等方性の回復の研究を進めることであるが、究極の目標は、数理物理学、特に場の量子論におけるくりこみ群の方法を念頭に置いて、確率モデルの漸近的性質の解析手段の手がかりを見いだすことである。
本研究期間の主要な研究成果は以下の通りである。
1 Sierpinski gasket上の漸近一次元拡散に関するくりこみ群による解析を、abc-gaskets及びscale-irregular abb-gasketsに拡張した。これらは局所的に非等方な拡散が大局的に別の方向に一次元的に拡散するという意味で等方性の回復が起こらない例、および、完全な自己相似性を欠く例である。同様の解析を、より難しいinfinitely ramified fractalの典型例Sierpinski carpetの非等方拡散に適用して等方性の弱い回復を証明した。
2 場の量子論の特徴的な数理現象としてのchiral U(1)anomalyを第一原理から導出した。Wilson項を持つ格子場の量子論の連続極限として厳密に証明したのは世界で初めてである。
3 Y.Kasaharaによるタウバー型定理を援用して独立確率変数列の重み付きの和に関する極限定理を導き、これをゼータ関数の値分布の具体的漸近評価に応用した。
4 2N-2個の実バラメーターを持つface modelに対するYang-Baxter方程式のelliptic solutions,およびこのface modelとBelavinのZ_N-symmetric vertex modelのintertwining relationを得た。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】08640252 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ディリクレ形式 / フラクタル / 漸近一次元拡散 / 非等方性 / くりこみ群 / 電気抵抗回路 / シルビンスキーカーペット / infinitely ramified fractal

【研究成果の概要】

本研究の目的は,フラクタル特にSierpinski carpetに代表されるinfinitely ramified fractals.の上の非等方拡散の等方性の回復を調べることであった。
この問題は,フラクタル上の拡散の一意性やhomogeniz ationの問題の解決に必要な要素として知られる重要な問題であり,finitely ramified fractalに関しては著者を含めて多くの結果が得られていたが,infinitely ramified fractalsでは問題が格段に難しくなる.Fini tely ramified fractalsと同様,infinitely ramified fractalsでも等方性の完全な回復を予想するが,現時点では困難な問題であるので,パラメータについて一様な漸近的評価(弱い意味の等方性の回復)を目標とした。
前フラクタル図形(最小単位を持ち,拡大する方向に自己相似な図形)の一つ,pre-Sierpinski carpetの上の非等方拡散を考える.この拡散の漸近的性質を特徴づける有効抵抗は,非等方拡散の場合はx軸方向とy軸方向で異なり,その比が非等方性を測る一つの重要な量となる.Pre-Sierpinski carpetをSierpinski carpetに近づけていくときの有効抵抗の比が漸近的に有界であることを本研究で証明し,これによって,等方性の弱い意味での回復が証明できた.
証明は,フラクタルに特徴的な自己相似性を生かして,問題を再帰不等式に帰着させて完成した.この再帰不等式は有効抵抗を変分問題によって表現したときの試行関数を再帰的に構成することで証明した。より簡単な境界条件に対応する二つの調和関数を適切に組み合わせて,本来問題となる境界条件に対応する変分問題の試行関数を得た。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1996

【配分額】500千円 (直接経費: 500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】08454040 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 確率過程 / 自己相似集合 / 熱核 / シェルピンスキーカーペット / ハルナック不等式 / ホモジナイゼーション / 拡散過程 / ランダムウォーク / ハウスドルク次元 / 固有値分布

【研究成果の概要】

1。本研究を遂行する中で、有限分岐的フラクタル上の確率過程についての新たな知見が得られた。P.c.f.self-similar setと呼ばれる自己相似性を持った有限分岐的フラクタルの上にレジスタンスメトリックという距離を入れたとき、この上の拡散過程の熱核(基本解)の精密な評価が一般に可能であるという結果である。これまでに、図形に強い対称性がある場合には熱核のアーロンソン型の評価が得られていたが、今回の研究により、一般にはアーロンソン型の評価は成り立たないことがわかり、さらにショーティストパスの挙動との関連が詳しく調べられた。この結果を熊谷は共著の論文にまとめ、J.London Math.Soc.に掲載予定である。
2。インフィニット、ラミファイド(無限分岐的)フラクタルについては、ランダムシェルピンスキーカーペットに於ける拡散過程の熱核の研究を行い、サンプルとなるカーペットごとの熱核の詳しい評価が得られ、ランダムネスに強いエルゴード性の条件が課せられる時には、この評価からさらに確率1で成り立つ評価が導かれることが分かった。図形が高次元の場合、バーロー・バス達によるカップリングの方法を用いることによりハルナック不等式を証明することが議論の一つの鍵となった。この結果を熊谷は共著の論文にまとめ、投稿予定である。
3。ユークリッド空間での現象とのつながり、特にホモジナイゼーションについては、楠岡氏との共同研究以来くりこみ不変な点の安定性が問題になっている。本研究の中で、海外の学会等で関連した研究を行っている研究者達と議論を行い彼等のプレプリントを読むことによりいくつかの新たな手法、視点を得ることが出来たが、それを我々の範疇に適応するには依然いくつかの技術的困難が残っている。これは今後の課題である。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1996 - 1997

【配分額】1,800千円 (直接経費: 1,800千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07640279 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ディリクレ形式 / フラクタル / 漸近一次元拡散 / 非等方性 / くりこみ群 / 電気抵抗回路 / シルピンスキーカーペット / infinitely ramified fractal

【研究成果の概要】

本研究の目的は,フラクタル,特にinfinitely ramified fractal,の上の非等方拡散の均質化,あるいは等方性の回復,を調べることであった.この問題は,フラクタル上の拡散の一意性やhomogenizationの問題の解決に必要な要素として知られる重要な問題であり,finitely ramified fractalに関しては著者を含めて多くの結果が得られているのに対して,infinitely ramified fractalでは全く手がつけられていなかった.Infinitely ramified fractalのもっともよく知られた例であるpre-Sierpinski carpetの上の有効抵抗の非等方性の漸近的な振る舞いに関して,本研究によって次の成果を得た.
1.Finitely ramified fractalsの場合と同様,等方性の完全な回復を予想するが,現時点では困難な問題である.パラメータについて一様な漸近的評価(弱い意味の等方性の回復)を目標とするべきであることを決定した.
2.フラクタルに特徴的な自己相似性を生かして問題を再帰不等式に帰着させるのが自然な発想である.既に等方的有効抵抗についてはBarlow-Bassの再帰不等式が知られていた.この再帰不等式も非等方的な場合に拡張できると考えられるが,弱い意味の等方性の回復を証明するためには必要ないであろうという結論を得た.むしろ,非等方性の強い,Barlow-Bass型不等式が悪い評価になっているパラメータ領域で有効な,別の再帰不等式群が重要であると考える。このような不等式は有効抵抗を変分問題によって表現したときの試行関数を再帰的に構成することで得られる.技術的には,変分問題のdmainに入るような試行関数を構成することに問題が帰着されることが分かった.

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1995

【配分額】600千円 (直接経費: 600千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】05854008 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 拡散過程 / シェルピンスキーガスケット / シェルピンスキーカーペット / ネスティドフラクタル / 熱方程式 / レジスタンス / ホモジナイゼーション

【研究成果の概要】

セルフシミラーフラクタルと呼ばれるフラクタルは、ファイナイトラミファイトなものと、インフィニットラミファイドなものに、大別できる。今年度の研究で、ファイナイトラミファイドなフラクタルについては、シェルピンスキーガスケット上の、非対称な拡散過程の特徴付けの研究を行い、また、アフィンネスティドフラクタルというクラスを作り、その上の、ある拡散過程について熱方程式の基本解のアーロンソン型の評価を得た。これらの論文は、別記のジャーナルに掲載予定である。これらの論文の作成やフラクタル図形の描画の際、科学研究費の設備備品費で購入したコンピューター及びソフトウェアが役立った。 インフィニットラミファイドなフラクタルについては、図形自体をランダム化したランダムフラクタルのレジスタンスの評価を、プレフラクタルをネットワークとみなして、その上の電流、電圧、抵抗を計算することによって得た。この研究は、東京大学数理科学研究科の楠岡教授および、北京師範大学の周博士との共同研究である。現在得ている結果は、ランダム化したシェルピンスキーカーペットのような、具体的なものに限られており、同様の評価が成り立つランダムフラクタルのクラスをはっきりさせてから、論文にまとめる予定である。 この他、楠岡教授と共同で、ネスティドフラクタルのホモジナイゼーション(均質化)についての研究を行っている。この問題は、ネスティドフラクタル上のブラウン運動の一意性とも関わっており、非常に重要かつ興味深い問題であるが、今のところ部分的な結果しか得られていないので来年度もひきつづき研究を続けて行く計画である。また、直接的な成果としては現れていないが、物理や工学の研究者も交えた研究集会に出席し、自分自身の研究面の視野と交流範囲を広げることができたことは、今後の研究に大きな影響を与えるものと考える。

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1993

【配分額】800千円 (直接経費: 800千円)