【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】11640137 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ブラウン運動 / 拡散過程 / ランダム媒質 / ブラウンポテンシャル / レヴィ過程 / 自己相似過程 / 従属操作 / 多次元timeのブラウン運動 / マルコフ過程 / 極限分布 / レヴィ測度

【研究成果の概要】

本研究は,主としてランダム媒質の中の拡散過程の長時間後の極限的振る舞いに関するものである.「ランダム媒質の中の」の代りに「ランダムポテンシャルをもつ」という表現を用いることもある.
1.半直線[0,∞)上のブラウンポテンシャルをもつ反射壁拡散過程に対して,その適当なスケーリングのもとに得られる極限の確率過程が時間的非一様な自己相似レヴィ過程になることが示され,そのレヴィ測度の具体的な形が求められた(研究発表の欄の第1の論文).
2.R=(-∞,∞)におけるランダムポテンシャルとして原点の左側ではブラウン運動,右側では恒等的に0としたものを考え,このランダムポテンシャルをもつR上の拡散過程の長時間後の極限的振る舞いに関しては従来よく研究されていたモデルの場合とは著しく異なった新しい結果が得られた(研究発表の欄の第3の論文).
3.多次元timeのブラウン運動の種々の領域での最小値,最大値の分布の滑らかさについての結果が得られた.この結果を用いて,多次元timeのブラウン運動の見本関数に対しては「相異なる時点で同じ値の極小値をとることはない」ことが示された.このことは媒質が多次元の場合,例えばランダム媒質として多次元timeのブラウン運動をとった場合の研究へ進むためにも必要なステップとしての意味がある(研究発表の欄の第9論文).
4.マルコフ過程の従属操作は時間的一様の場合に限るものであったが,時間的に非一様なマルコフ過程に対しても拡張された意味での従属操作が可能であることがわかった.また,これに関連して不連続型のマルコフ過程の乗法的汎関数のあるクラスについて具体的表示が得られた.これらは,ランダム媒質が時間とともに変化する場合の研究のための予備的考察(マルコフ過程の種々の構成法の検討)としてなされた.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1999 - 2000

【配分額】2,100千円 (直接経費: 2,100千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07454034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ブラウン運動 / 拡散過程 / オペレーター自己相似過程 / 極限定理 / 群作用の剛性 / 超越数 / エルゴード的変換 / 大偏差原理 / ホワイトノイズ媒質 / 流体力学極限 / 自己相似過程 / ナビェ・ストークス方程式 / 自由境界問題 / ランダム媒質

【研究成果の概要】

本研究は、確率論・エルゴード理論・微分幾何・偏微分方程式等、数学の諸分野の研究者により確率論とその関連解析学における研究を行ったものである。
1.(1)ホワイトノイズ媒質の中のドリフト係数χ(正の定数)をもつブラウン運動(拡散過程)の長時間後の振舞いについて、χが小さいときは片側安定型の極限定理が、またχがある程度大きいときは殆んどすべての見本媒質に対し中心極限定理が成立することが証明された(田中)。(2)オペレーター自己相似過程の極限定理に関する種々の新しい結果が得られた(前島)。(3)大偏差原理の精密な解析において従来の結果を非対称なマルコフ過程の場合にまで拡張することに成功した(田村)。(4)1次元格子上の実数値スピン場の時間発展系の構成とその流体力学極限の問題において新しい結果が得られた(鈴木)。
2.エルゴード理論関係においては、主として有限な不変測度をもたないエルゴード的変換の分類研究が進められ、とくにII型とIII型の変換の分類の不変量として現われる「整数の無限集合」の数論的構造が明らかにされた(伊藤)。
3.群作用の剛性問題に対し確率解析を用いる新しい方法が金井により提唱された。またコンパクト多様体のリーマン計量全体の空間における微分同相写像の群の研究においてゼータ-関数が導入された(前田)。
4.非圧縮性ナビェ・ストークスの研究において、局所解・大域解につき種々の新しい結果が得られた(谷)。
5.超越数の研究において、ヤコビ・データ級数の値の代数的独立性と、フィボナッチ数を用いて定義されるある種の級数値の超越性の証明がなされ、その結果としてLiouvilleの一予想(超越数に関するもの,1851年)が解決された(塩川、他)。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1995 - 1996

【配分額】4,500千円 (直接経費: 4,500千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】04452011 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

拡散過程 / ブラウン運動 / ランダム媒質 / オペレーター安定過程 / II_∞,III型のエルゴード的変換 / 調和写像 / モース・フロー / 無限次元Lie環 / オヘレーター安定過程 / II∞、III型のエルゴード的変換 / 調和写像とモース・フロー / ポアンカレ・バーコフ・ウイットの定理 / 自己相似過程 / ナビエ・ストークス方程式 / 自由境界問題 / trimmed sum

【研究成果の概要】

本研究では,確率論および関連する解析学の諸問題について確率論・解析学その他数学の広い分野の研究者が分担して研究を行った。各分担者は各種シンポジウムへの出席を通して研究を進展させて行き,研究発表の欄にあるように多くの雑誌にその成果を発表した。
1.ランダム媒質の中の拡散過程の研究においては,媒質がブラウン運動の場合,さらには自己相似的に近いかなり広いクラスのランダム媒質の場合に,その中を動く拡散過程の局在性を証明した。この研究を更に発展させるため,吸収壁レヴィ過程の優調和変換について研究した。また,多次元ブラウン媒質の中の拡散過程は再帰的であるという結果を得た(田中).自己相似過程の研究については,とくにオペレーター安定過程がとりあげられ,その基本的性質,例,極限定理について新しい結果が得られた(前島).
2.エルゴード理論の研究においては,有限な不変測度をもたないエルゴード的変換に特有な性質を種々の歓的から研究し,とくに付随するコサイクルの性質を通して変換の分類問題に対する新しい知見を得た(伊藤).
3)非線型偏微分方程式の研究においては,調和写像型の滑らかなモース・フローの構成がなされた(菊池)。それはある変分汎関数列を考えるもので,その汎関数列に対応するオイラー・ラグランジュ方程式の解析に基づいている。
4.不規則系の解析数論的研究として,ビリヤードモデルをもとにして定義される数列の複雑さについて考察し,新しい結果を得た(塩川)。
5.前田は,無限次元ILH-Lie環に自然に定められたポアソン構造について,その代数的構造の変形可能性を証明した。

【研究種目】一般研究(B)

【研究期間】1992 - 1993

【配分額】6,100千円 (直接経費: 6,100千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】62460006 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

出生死亡過程 / マルコフ過程 / 自己相似過程 / ガウス型通信路 / ブラウン運動 / 確率制御問題 / 対数型拡散核 / 解析的容量 / 自己分解可能分布 / フィ-ドバック / 確率制御 / シュレ-ディンガ-作用素 / 組みひも群 / 公理A / 加法過程 / リーマン多様体 / 有理型関数 / 特異点集合 / ヤン・バクスター方程式 / サボーディネイション / 再帰性 / ディリクレ核 / ピカール集合 / 標準量子限界

【研究成果の概要】

1.出生死亡過程に対し、一般化された滞在時間の分布を決定することに成功した。 2.指数的変換を施した増加加法過程による従属操作で得られるマルコフ過程に対し、指数的変換のパラメ-タ-を無限大に近づけたときの極限定理を証明した。 3.独立増分をもつ自己相似過程を組織的に研究し、それとL分布との関係を明らかにした。さらに、作用素自己相似性をもつ過程で独立増分をもつものと、作用素自己分解可能分布との間に、同様の関係が成り立つことを示した。 4.連続時間のガウス型通信路において、フィ-ドバックのある時の通信路容量がフィ-ドバックのない時の通信路容量の2倍になるものが存在することを示し、一般に2倍でおさえられるという結果が、それ以上改善できないことを示した。 5.リ-マン多様体の上のブラウン運動に対しその推移確率の下からの評価を与え、ある条件の下で、ブラウン運動に対する大局的な重複対数の法則を示した。 6.ユ-クリッド空間全体の上でのエルゴ-ド的確率制御問題をシュレ-ディンガ-作用素の固有値問題と関連づけて考察し、ある非線形偏微分方程式の正値解の漸近挙動を求めた。 7.マルコフ過程と密接な関連を持つ公理論的ポテンシャル論において、対数型拡散核の特徴づけを行うとともに、放物型ポテンシャルの境界挙動、連続関数核の正則部と特異部への分解を考察した。 8.除外的に分岐しているような一価有理型関数の存在しないような、非孤立特異点だけから成る特異点集合の条件を与え、さらにその考察を精密化した。 9.コ-シ-変換のノルムを評価し、解析的容量の評価を与え、またビュフォンの針の確率との関係を調べた。 10.自由質点の位置の連続測定には標準量子限界と呼ばれる測定精度の限界があるとされてきたが、その正否をめぐる論争に対し、この標準量子限界を打ち破る測定のモデルを数学的に構成することにより、決着をつけた。

【研究種目】一般研究(B)

【研究期間】1987 - 1989

【配分額】3,600千円 (直接経費: 3,600千円)