【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】21340030 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

マルコフ過程 / エルゴード性 / マルコフ半群 / 生成作用素のスペクトル / 対数 Sobolev 不等式 / 超縮小性 / 確率解析 / 半群 / 対数ソボレフ不等式 / スペクトルギャップ / スペクトル / 大数Sobolev不等式 / マルコフ性 / 生成作用素の一意性 / 凸集合の保存 / 非対称拡散過程 / リーマン多様体 / 超過函数 / Brown 運動 / Wiener空間 / 消散的半群 / Riemann多様体 / 非対称半群 / Dirichlet形式

【研究成果の概要】

主に、マルコフ過程を確率解析の手法で研究した。ここではマルコフ過程に付随する半群の挙動について主に調べた。まずリーマン多様体上の拡散過程を、半群の構成の立場から考察した。Laplace-Beltrami 作用素にベクトル場を加えた作用素を考え、ベクトル場の条件で半群が一意的に決まる条件を与えた。
次に半群の凸集合の保存性に関する条件を整理した。Banach 空間の場合には生成作用素で条件を記述し、Hilbert 空間の場合は Dirichlet 形式を用いて条件を与えた。
また対数 Sobolev 不等式の条件の下で不変測度への収束の速さを考察した。関連して双対超縮小性の条件を調べた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009-04-01 - 2014-03-31

【配分額】16,770千円 (直接経費: 12,900千円、間接経費: 3,870千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】17340036 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Wiener 空間 / Brown 運動 / 拡散過程 / 対数Sobolev 不等式 / スペクトルギャップ / 格子スピン系 / Hodge-Kodaira 作用素 / Hodge-Kodaira作用素 / 超縮小性 / 非対称半群 / リーマン多様体 / 不変測度 / ブラウン運動 / 確率解析 / Wiener空間 / スペクトルの跳び / Witten Laplacian / Wiener測度 / 対数Sobolev不等式 / Dirichlet形式

【研究成果の概要】

確率解析に関する研究を、主に関数解析的な手法で進めた。ここでは次のような結果を得た。(1)Hodge-Kodaira 作用素のmultiplier の L^p 有界性(2)Riemann 多様体上のSchrodinger 作用素に対する Littlewood-Paleyの不等式(3)作用素の交換関係と生成作用素(4)Wiener空間及び格子スピン系のSchrodinger作用素のスペクトルギャップの存在(5)1次元拡散過程の生き残り拡散過程の存在(6)非対称な半群に関する超縮小性のための条件と、リーマン多様体上の拡散過程への応用。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】11,380千円 (直接経費: 10,000千円、間接経費: 1,380千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】14204008 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / ブラウン運動 / Wiener空間 / 対数Sobolev不等式 / スペクトルの跳び / Schrodinger作用素 / Littlewood-Paley不等式 / Riemann多様体 / 半群の優評価 / Witten Laplacian / 格子スピン系 / 確立解析 / エントロピー / 交叉関係 / スカラーポテンシャル

【研究成果の概要】

代表者の研究は、無限次元空間を中心に拡散過程の研究を進めている。幾何的な考察も有効であるため、Riemann多様体の場合も平行して研究を進めている。ここで扱った問題はLittlewood-Paleyの不等式の確率論的な証明、生成作用素の平方とグラディエント作用素とのL^pノルムの同値性、Schrodinger作用素の本質的自己共役性、スペクトルの跳びなどである。生成作用素とグラディエント作用の交叉性を基本として解析を行った。そのためには空間の性質によらない方法が必要であり、特に関数解析的な手法が有効である。一般的な枠組みでは対数Sobolev不等式の仮定の下で、交叉関係の非可換な部分に指数可積分性を仮定して行った。また境界のあるRiemann多様体の場合も考察し、境界の凸性を仮定して同様の結果を得た。
また、Wiener空間上でL+V(LはOrnstein-Uhlenbeck作用素)の形のSchrodinger作用素を考察した。本質的自己共役性、定義域の特徴付け、スペクトルの跳びなどのための十分条件を与えた。さらにSchrodinger作用素に対し、Littlewood-Paleyの不等式の証明も行い、ポテンシャル項Vも考慮に入れた形で定式化を行い、従来の結果を一般化した。この手法はRiemann多様体上のHodeg-Kodaira作用素にポテンシャルを付け加えた形でも証明することが出来る。
なお、この科研費では多くの研究集会を開催し、支援を行った。以下主なものは述べる。2002年度に数理解析研究所のプロジェクト研究「確率解析とその周辺」の支援を行い、McKean, Ustunel, Rocknerなどの研究者招聘を行い、研究交流を促進して。また2003年、2004年にはサマースクールを開催、多くの学生の参加を得て活発な研究交流を行うことができた。さらに毎年シンポジウム「確率過程とその周辺」を開催し、確率論全体での研究交流を行った。全体で24個の研究集会を開催し、外国人研究者14人を招聘し多くの成果を上げることができた。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2002 - 2004

【配分額】40,040千円 (直接経費: 30,800千円、間接経費: 9,240千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】11440045 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

半群の優評価 / 半群の交換関係 / 平方場作用素 / Litlewood-Paley不等式 / 乗法作用素 / 第2基本形式 / Hodge-Kodaira作用素 / 対数Sobolev不等式 / Littlewood-Paley不等式 / ブラウン運動 / 半群の比較 / Schrodinger作用素 / 生成作用素の定義域 / Riesz変換 / Brown運動 / Dirichlet形式 / 反射壁Brown運動 / 基本解 / 準楕円性

【研究成果の概要】

半群の優評価定理と,交換定理(あるいは交差定理)について主に研究してきた.比較定理は2つの半群に対し,|T^^→_tu|【less than or equal】T_t|u|の形の優評価を与えるものである.uとして特に多様体の上の微分形式などのベクトル値関数を想定している.生成作用素による一般的な同値条件は知られているが,ここでは平方場作用素を用いた定式化で十分条件を与えた.正値性と局所性が本質的な条件である.交換定理については生成作用素L, L^^→に対し,DL=L^^→D+Rの形の不完全交差性が成立するための,半群やレゾルベントの条件を決定した.これらの枠組は,一つにはBakry-EmeryのΓ_2理論の再構成を与えることが目的であるが,境界条件のある拡散過程などを取り入れることも出来,一般化にもなっている.その他の応用として,Littlewood-Paleyの不等式の証明や,あるいはL^p乗法作用素定理などの証明のために用いることが出来る.Littlewood-Paleyの不等式に関しては境界のあるコンパクトRiemann多様体の場合を考察し,境界の第2基本形式が正であるという条件の下で不等式を示した.これを用いるとRiesz変換のL^pでの連続性を導くことが出来る.この問題はDirichlet形式に対して対数Sobolev不等式が成立するという一般的な枠組でΓ_2に対し指数可積分性を仮定すれば同様に証明できることも示した.L^p乗法作用素定理は一般に作用素Aに関してφ(A)がL^pにおける有界作用素を与えるためのφの条件を与えることである.φが有界関数のLeplace変換型で与えられるときに,マルコフ半群に対してSteinが示した結果が有名である.ここではこの結果をRiemann多様体上の微分形式に対するHodge-Kodaira作用素に対して同様に成立することを示した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2001

【配分額】5,500千円 (直接経費: 5,500千円)