【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】21340030 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

マルコフ過程 / エルゴード性 / マルコフ半群 / 生成作用素のスペクトル / 対数 Sobolev 不等式 / 超縮小性 / 確率解析 / 半群 / 対数ソボレフ不等式 / スペクトルギャップ / スペクトル / 大数Sobolev不等式 / マルコフ性 / 生成作用素の一意性 / 凸集合の保存 / 非対称拡散過程 / リーマン多様体 / 超過函数 / Brown 運動 / Wiener空間 / 消散的半群 / Riemann多様体 / 非対称半群 / Dirichlet形式

【研究成果の概要】

主に、マルコフ過程を確率解析の手法で研究した。ここではマルコフ過程に付随する半群の挙動について主に調べた。まずリーマン多様体上の拡散過程を、半群の構成の立場から考察した。Laplace-Beltrami 作用素にベクトル場を加えた作用素を考え、ベクトル場の条件で半群が一意的に決まる条件を与えた。
次に半群の凸集合の保存性に関する条件を整理した。Banach 空間の場合には生成作用素で条件を記述し、Hilbert 空間の場合は Dirichlet 形式を用いて条件を与えた。
また対数 Sobolev 不等式の条件の下で不変測度への収束の速さを考察した。関連して双対超縮小性の条件を調べた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009-04-01 - 2014-03-31

【配分額】16,770千円 (直接経費: 12,900千円、間接経費: 3,870千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】13640165 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

熱核 / マルコフ過程 / 大偏差原理 / スペクトル / 主固有関数 / ロバチェフスキー空間 / 樹木 / ブラウン運動 / ディリクレ形式 / マルコフ連鎖 / 固定端過程 / 調和変換 / 主固有値 / 被覆空間 / 離散群 / 対称空間

【研究成果の概要】

推移確率密度関数が時間に関して指数関数オーダーで減衰するマルコフ過程に対してDonsker-Varadhan型の大偏差原理を系統的に調べることが目標であった。この種のマルコフ過程は非常に強い非再帰性を持ち、そのため通常の形の大偏差原理は成立しない。ここではこのマルコフ過程の固定端運動の経験分布の大偏差原理を考察した。我々の研究において本質的に重要な役割を果すのは、マルコフ過程の生成作用素のスペクトルの下端とそれに附随する(一般化された)正値固有関数(ここでは主固有関数と呼ぶ)である。基本的アイデアは、マルコフ過程をこの主固有関数で調和変換(Doobのh-変換の一般化とも言える)し、得られる新しいマルコフ過程に附随するレート関数を導入すると、それによって固定端運動に対する大偏差原理を証明することができる。具体的には、(i)多次元正方格子上の可逆な周期的マルコフ連鎖(離散時間および連続時間パラメータ)について、正方格子の離散トーラスに対する被覆性に基づいた議論により、大偏差原理を証明した。(ii)(i)におけるマルコフ連鎖について、スペクトルの下端が正になるための必要十分条件を、Ellisの大偏差の理論を利用して証明した。(iii)非ユークリッド的な状態空間の場合:(A)2次元ロバチェフスキー空間のブラウン運動、(B)樹木上のランダムウオーク、に対して大偏差原理を示した。(iii)の場合は、(i)にくらべるといくぶん弱い主張であるが、ファイマン-カッツ型の汎関数の平均に対する極限定理は、レート関数とL^2-スペクトルとの関係に着目することにより証明できた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2001 - 2002

【配分額】3,100千円 (直接経費: 3,100千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】11640137 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ブラウン運動 / 拡散過程 / ランダム媒質 / ブラウンポテンシャル / レヴィ過程 / 自己相似過程 / 従属操作 / 多次元timeのブラウン運動 / マルコフ過程 / 極限分布 / レヴィ測度

【研究成果の概要】

本研究は,主としてランダム媒質の中の拡散過程の長時間後の極限的振る舞いに関するものである.「ランダム媒質の中の」の代りに「ランダムポテンシャルをもつ」という表現を用いることもある.
1.半直線[0,∞)上のブラウンポテンシャルをもつ反射壁拡散過程に対して,その適当なスケーリングのもとに得られる極限の確率過程が時間的非一様な自己相似レヴィ過程になることが示され,そのレヴィ測度の具体的な形が求められた(研究発表の欄の第1の論文).
2.R=(-∞,∞)におけるランダムポテンシャルとして原点の左側ではブラウン運動,右側では恒等的に0としたものを考え,このランダムポテンシャルをもつR上の拡散過程の長時間後の極限的振る舞いに関しては従来よく研究されていたモデルの場合とは著しく異なった新しい結果が得られた(研究発表の欄の第3の論文).
3.多次元timeのブラウン運動の種々の領域での最小値,最大値の分布の滑らかさについての結果が得られた.この結果を用いて,多次元timeのブラウン運動の見本関数に対しては「相異なる時点で同じ値の極小値をとることはない」ことが示された.このことは媒質が多次元の場合,例えばランダム媒質として多次元timeのブラウン運動をとった場合の研究へ進むためにも必要なステップとしての意味がある(研究発表の欄の第9論文).
4.マルコフ過程の従属操作は時間的一様の場合に限るものであったが,時間的に非一様なマルコフ過程に対しても拡張された意味での従属操作が可能であることがわかった.また,これに関連して不連続型のマルコフ過程の乗法的汎関数のあるクラスについて具体的表示が得られた.これらは,ランダム媒質が時間とともに変化する場合の研究のための予備的考察(マルコフ過程の種々の構成法の検討)としてなされた.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1999 - 2000

【配分額】2,100千円 (直接経費: 2,100千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】62460006 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

出生死亡過程 / マルコフ過程 / 自己相似過程 / ガウス型通信路 / ブラウン運動 / 確率制御問題 / 対数型拡散核 / 解析的容量 / 自己分解可能分布 / フィ-ドバック / 確率制御 / シュレ-ディンガ-作用素 / 組みひも群 / 公理A / 加法過程 / リーマン多様体 / 有理型関数 / 特異点集合 / ヤン・バクスター方程式 / サボーディネイション / 再帰性 / ディリクレ核 / ピカール集合 / 標準量子限界

【研究成果の概要】

1.出生死亡過程に対し、一般化された滞在時間の分布を決定することに成功した。 2.指数的変換を施した増加加法過程による従属操作で得られるマルコフ過程に対し、指数的変換のパラメ-タ-を無限大に近づけたときの極限定理を証明した。 3.独立増分をもつ自己相似過程を組織的に研究し、それとL分布との関係を明らかにした。さらに、作用素自己相似性をもつ過程で独立増分をもつものと、作用素自己分解可能分布との間に、同様の関係が成り立つことを示した。 4.連続時間のガウス型通信路において、フィ-ドバックのある時の通信路容量がフィ-ドバックのない時の通信路容量の2倍になるものが存在することを示し、一般に2倍でおさえられるという結果が、それ以上改善できないことを示した。 5.リ-マン多様体の上のブラウン運動に対しその推移確率の下からの評価を与え、ある条件の下で、ブラウン運動に対する大局的な重複対数の法則を示した。 6.ユ-クリッド空間全体の上でのエルゴ-ド的確率制御問題をシュレ-ディンガ-作用素の固有値問題と関連づけて考察し、ある非線形偏微分方程式の正値解の漸近挙動を求めた。 7.マルコフ過程と密接な関連を持つ公理論的ポテンシャル論において、対数型拡散核の特徴づけを行うとともに、放物型ポテンシャルの境界挙動、連続関数核の正則部と特異部への分解を考察した。 8.除外的に分岐しているような一価有理型関数の存在しないような、非孤立特異点だけから成る特異点集合の条件を与え、さらにその考察を精密化した。 9.コ-シ-変換のノルムを評価し、解析的容量の評価を与え、またビュフォンの針の確率との関係を調べた。 10.自由質点の位置の連続測定には標準量子限界と呼ばれる測定精度の限界があるとされてきたが、その正否をめぐる論争に対し、この標準量子限界を打ち破る測定のモデルを数学的に構成することにより、決着をつけた。

【研究種目】一般研究(B)

【研究期間】1987 - 1989

【配分額】3,600千円 (直接経費: 3,600千円)