無限次元空間上の確率解析の多角的研究
【研究分野】基礎解析学
【研究キーワード】
半群の優評価 / 半群の交換関係 / 平方場作用素 / Litlewood-Paley不等式 / 乗法作用素 / 第2基本形式 / Hodge-Kodaira作用素 / 対数Sobolev不等式 / Littlewood-Paley不等式 / ブラウン運動 / 半群の比較 / Schrodinger作用素 / 生成作用素の定義域 / Riesz変換 / Brown運動 / Dirichlet形式 / 反射壁Brown運動 / 基本解 / 準楕円性
【研究成果の概要】
半群の優評価定理と,交換定理(あるいは交差定理)について主に研究してきた.比較定理は2つの半群に対し,|T^^→_tu|【less than or equal】T_t|u|の形の優評価を与えるものである.uとして特に多様体の上の微分形式などのベクトル値関数を想定している.生成作用素による一般的な同値条件は知られているが,ここでは平方場作用素を用いた定式化で十分条件を与えた.正値性と局所性が本質的な条件である.交換定理については生成作用素L, L^^→に対し,DL=L^^→D+Rの形の不完全交差性が成立するための,半群やレゾルベントの条件を決定した.これらの枠組は,一つにはBakry-EmeryのΓ_2理論の再構成を与えることが目的であるが,境界条件のある拡散過程などを取り入れることも出来,一般化にもなっている.その他の応用として,Littlewood-Paleyの不等式の証明や,あるいはL^p乗法作用素定理などの証明のために用いることが出来る.Littlewood-Paleyの不等式に関しては境界のあるコンパクトRiemann多様体の場合を考察し,境界の第2基本形式が正であるという条件の下で不等式を示した.これを用いるとRiesz変換のL^pでの連続性を導くことが出来る.この問題はDirichlet形式に対して対数Sobolev不等式が成立するという一般的な枠組でΓ_2に対し指数可積分性を仮定すれば同様に証明できることも示した.L^p乗法作用素定理は一般に作用素Aに関してφ(A)がL^pにおける有界作用素を与えるためのφの条件を与えることである.φが有界関数のLeplace変換型で与えられるときに,マルコフ半群に対してSteinが示した結果が有名である.ここではこの結果をRiemann多様体上の微分形式に対するHodge-Kodaira作用素に対して同様に成立することを示した.
【研究代表者】