【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】13640170 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Brownian Motion / local martingale / P-martingale / S-subharmonic function / Liouville theorem / minimal surface / Nevanlinna theory / subharmonic function / Brownian motion / δ-sabharmonic function / Lienville theorem / マルチンゲール / ブラウン運動 / 劣調和関数 / ネヴァンリンナ理論 / リュービル型定理 / 調和写像

【研究成果の概要】

厚地は次のような大きく分けて3つの成果を得た。
1.必ずしもプロパーにはめ込まれていない有限型極小曲面に対して、射影体積が有限ならば、全曲率が有限になることを示した。この結果においては、極小曲面上のブラウン運動が、はめ込まれた空間でマルチンゲールになっていることが使われる。また、1次元局所マルチンゲールの性質を利用して得られるδ-劣調和関数の対数微分の補題が有効に使われている。
2.多様体の放物性(多様体上の標準的な拡散過程の再帰性)をδ-劣調和関数を用いて特徴付けた。この特徴づけを用いて、放物的多様体からカルタン-アダマール多様体へのエネルギー有限な細調和写像のLiouville型定理を導いた。ここには、1次元局所マルチンゲールの性質とブラウン運動の調和写像による像として得られる多様体上のマルチンゲールの性質が使われている。
3.部分多様体上のブラウン運動の性質を調べることにより、C^n内の複素部分多様体上の有理型関数に対するネヴァンリンナ理論の第2主定理を与えた。
小谷は、局所マルチンゲールの基本的な結果として、1次元拡散過程がマルチンゲールになる必要十分条件を求めた。
竹腰は、完備リーマン多様体上の非定数劣調和関数のL^p-積分の発散条件をその関数の測地球上のL^p-積分の発散条件に置き換えて研究し、その応用として完備リーマン多様体の放物性に関する判定条件、調和写像に関するLiouville型定理、非正なスカラー曲率をもつ完備計量の共形変換の等長性に関する結果を計量のリッチ曲率の条件に依存しない形で導いた。また完備リーマン多様体間のp-調和写像のL^p-エネルギー積分の評価についても以前の結果を精密化した。
鈴木は、ランダム媒質の中の拡散過程、特に片側Brownポテンシャルをもつ拡散過程の長時間後の漸近挙動について考察を行った。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2001 - 2003

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】10640167 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

subharmonic function / Brownian motion / harmonic map / minimal surface / Nevarlinna theory / diffusion process / martingale / Nevanlinna theory / 劣調和関数 / 極小曲面 / ブラウン運動 / 調和写像 / 値分布論 / Brown運動 / 最大値原理 / P-調和写像 / 準線形楕円形作用素 / ディリクレ空間

【研究成果の概要】

まず、本研究の端緒でもあるが、竹腰は、Omori-Yauの最大値原理を幾何学的関数論的に再度見直し、錘への等長挿入の不可能性について、今まで知られていなかった体積の増大度による判定条件を与えた。この研究に触発され厚地は極小部分多様体のこの様な性質は確率完備性が本質的であることを示した。さらに、劣調和関数の確率論的解析により、確率完備性やブラウン運動の再帰性は極小曲面の大域的・関数論的性質に対して種々の統制を与えることがわかった。この様な研究方法は、エネルギー有限の調和写像の非存在定理についても応用された。竹腰は、Schoen-YauのL^2-エネルギー有限な調和写像の非存在定理を、L^p-エネルギー有限なp-調和写像(p【greater than or equal】2)に対するある最大値原理を示すことにより、一般化した。一方、厚地は確率論的方法により、Cheng-Tam-WanのL^2-エネルギー有限な調和写像の非存在定理を捉えなおし、その拡張を与えた。これは、劣調和関数のある種のリューヴィル型定理の新しい簡明な証明(ある種のエルゴード定理を用いる)を含む。この他にも次のような成果が得られた。小松は、滑らかな境界をもつ強擬凸領域におけるベルグマン核・不変なゼゲー核の境界特異性を研究した。二次元領域の場合に,ウェイトが5のCR不変式を決定した。次にこの結果を使って,ベルグマン核とゼゲー核の不変な漸近展開に関する従来の結果を限界まで改良した。金子は、局所ディリクレ空間におけるグリーンの公式の類似を示し、これを用いて再帰性の判定条件を与えた。これはp進体上のランダムウォークにも応用できる。さらに、実数体上で確立されてきた確率解析やディリクレ形式の理論を,ある程度p進体の上でも再現させ得ることを実証した。小谷は、一次元Brown運動の左右の半区間で符号が変わる加法的汎関数の最大値分布の極限定理を示した。これはシナイの結果の拡張であり別証である。また、KdV方程式で初期値がランダムな解について無限ソリトン解の立場から幾つかの結果を得ている。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】3,100千円 (直接経費: 3,100千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】04452011 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

拡散過程 / ブラウン運動 / ランダム媒質 / オペレーター安定過程 / II_∞,III型のエルゴード的変換 / 調和写像 / モース・フロー / 無限次元Lie環 / オヘレーター安定過程 / II∞、III型のエルゴード的変換 / 調和写像とモース・フロー / ポアンカレ・バーコフ・ウイットの定理 / 自己相似過程 / ナビエ・ストークス方程式 / 自由境界問題 / trimmed sum

【研究成果の概要】

本研究では,確率論および関連する解析学の諸問題について確率論・解析学その他数学の広い分野の研究者が分担して研究を行った。各分担者は各種シンポジウムへの出席を通して研究を進展させて行き,研究発表の欄にあるように多くの雑誌にその成果を発表した。
1.ランダム媒質の中の拡散過程の研究においては,媒質がブラウン運動の場合,さらには自己相似的に近いかなり広いクラスのランダム媒質の場合に,その中を動く拡散過程の局在性を証明した。この研究を更に発展させるため,吸収壁レヴィ過程の優調和変換について研究した。また,多次元ブラウン媒質の中の拡散過程は再帰的であるという結果を得た(田中).自己相似過程の研究については,とくにオペレーター安定過程がとりあげられ,その基本的性質,例,極限定理について新しい結果が得られた(前島).
2.エルゴード理論の研究においては,有限な不変測度をもたないエルゴード的変換に特有な性質を種々の歓的から研究し,とくに付随するコサイクルの性質を通して変換の分類問題に対する新しい知見を得た(伊藤).
3)非線型偏微分方程式の研究においては,調和写像型の滑らかなモース・フローの構成がなされた(菊池)。それはある変分汎関数列を考えるもので,その汎関数列に対応するオイラー・ラグランジュ方程式の解析に基づいている。
4.不規則系の解析数論的研究として,ビリヤードモデルをもとにして定義される数列の複雑さについて考察し,新しい結果を得た(塩川)。
5.前田は,無限次元ILH-Lie環に自然に定められたポアソン構造について,その代数的構造の変形可能性を証明した。

【研究種目】一般研究(B)

【研究期間】1992 - 1993

【配分額】6,100千円 (直接経費: 6,100千円)