【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】16340025 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

期待効用最大化問題 / 準変分不等式 / 取引費用 / インサイダー取引 / 粘性解 / ハミルトン・ヤコビ方程式 / 大偏差確率制御 / 線形ガウス型市場モデル / リスク鋭感的ポートフォリオ最大化 / super kernel / 密度関数推定 / モーメント問題 / 期待効用最大化 / スペクトル理論 / HJB方程式 / 最小エントロピー測度 / べき型期待効用最大化 / 最適制御 / 指数型ウィナー汎関数 / 最小エントロピー / ファクターモデル / Hamilton-Jacobi-Bellman方程式 / 確率制御 / ブラウン運動

【研究成果の概要】

・無限時間範囲べき型期待効用最大化問題を、取引費用透考慮に入れて考察した。対応する、"エルゴード型"リスク鋭感的準変分不等式を導いた。"エルゴード型"リスク鋭感的準変分不等式の解は、ある関数と定数の組からなるが、その関数を用いて最適戦略の構成を行い、また、その定数が最適値を与えることを示した
・インサイダ取引のモデルに対して均衡価格の問題を研究した。また、作ったモデルでインサイダは株価格に影響しても安定な均衡価格が存在する事を証明した。
・ハミルトン・ヤコビ方程式の解の時間無限大における振舞いについて研究し,一般次元ユークリッド空間上において漸近解への収束することを比較的一般な仮定の下で証明した.
・半連続$L^p$粘性解の概念を導入し、修正版Perronの方法による$L^p$粘性解の存在を示した。また、方程式が一様楕円性を持つ時、この粘性解がヘルダー連続になることを示した。
・数理ファイナンスに現れるobstacle問題の粘性解の微分可能性を高めることで、フィードバック最適制御を構成した。
・非完備な市場モデルである線形ガウス型市場モデルを取り上げ、資産増加率が予め定めた値を超えない確率(ダウンサイドリスク)、を最小化する問題を考察し、その時間大域的挙動が、リスク鋭感的ポートフォリオ最大化問題の双対として特徴付けられることを示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2004 - 2007

【配分額】16,740千円 (直接経費: 15,600千円、間接経費: 1,140千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07304020 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確立過程 / 確率解析 / 数理ファイナンス / フラクタル / 流体力学極限 / エルゴ-ト理論 / 確率制御 / ブラウン運動 / 確率過程 / 確率微分方程式 / パーコレイション / 無限粒子系 / シュレ-ディンガー作用系 / 無限次元解析 / 極限定理 / 力学系

【研究成果の概要】

この研究は平成7年度と8年度にわたって行った。内容については研究成果報告書にあるように我国で行われている確立論の多くの分野にわたることについて計12日の研究集会を開き,研究情報の交換を行った。
特にその中でも,数学の他の分野,あるいは数学以外の分野との交流が多く持てたことに大へん意義があった。統計物理,数理生物,数理ファイナンス,数学の分野では討論,微分方程式,スペクトル理論,微分幾何,等々関連する分野の研究に親展があった。
また7年度と8年度に1度づつ夏の学校を開き,若い研究者,学生に対して現在活発に進行中の話題,つまり「流体力学極限」と「エルゴ-ト理論と数論」の2つの主題について,専門の研究者に連続講演をお願いした。これは,若い世代に自分の研究の方向付けを与えるものとして非常に意義深いものであったと思う。
さらに各分野を統合する研究集会を各年の12月に開催した。これにより,ともすれば狭い専門に限られて関心を広げることができたと思う。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1996

【配分額】17,500千円 (直接経費: 17,500千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】62460006 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

出生死亡過程 / マルコフ過程 / 自己相似過程 / ガウス型通信路 / ブラウン運動 / 確率制御問題 / 対数型拡散核 / 解析的容量 / 自己分解可能分布 / フィ-ドバック / 確率制御 / シュレ-ディンガ-作用素 / 組みひも群 / 公理A / 加法過程 / リーマン多様体 / 有理型関数 / 特異点集合 / ヤン・バクスター方程式 / サボーディネイション / 再帰性 / ディリクレ核 / ピカール集合 / 標準量子限界

【研究成果の概要】

1.出生死亡過程に対し、一般化された滞在時間の分布を決定することに成功した。 2.指数的変換を施した増加加法過程による従属操作で得られるマルコフ過程に対し、指数的変換のパラメ-タ-を無限大に近づけたときの極限定理を証明した。 3.独立増分をもつ自己相似過程を組織的に研究し、それとL分布との関係を明らかにした。さらに、作用素自己相似性をもつ過程で独立増分をもつものと、作用素自己分解可能分布との間に、同様の関係が成り立つことを示した。 4.連続時間のガウス型通信路において、フィ-ドバックのある時の通信路容量がフィ-ドバックのない時の通信路容量の2倍になるものが存在することを示し、一般に2倍でおさえられるという結果が、それ以上改善できないことを示した。 5.リ-マン多様体の上のブラウン運動に対しその推移確率の下からの評価を与え、ある条件の下で、ブラウン運動に対する大局的な重複対数の法則を示した。 6.ユ-クリッド空間全体の上でのエルゴ-ド的確率制御問題をシュレ-ディンガ-作用素の固有値問題と関連づけて考察し、ある非線形偏微分方程式の正値解の漸近挙動を求めた。 7.マルコフ過程と密接な関連を持つ公理論的ポテンシャル論において、対数型拡散核の特徴づけを行うとともに、放物型ポテンシャルの境界挙動、連続関数核の正則部と特異部への分解を考察した。 8.除外的に分岐しているような一価有理型関数の存在しないような、非孤立特異点だけから成る特異点集合の条件を与え、さらにその考察を精密化した。 9.コ-シ-変換のノルムを評価し、解析的容量の評価を与え、またビュフォンの針の確率との関係を調べた。 10.自由質点の位置の連続測定には標準量子限界と呼ばれる測定精度の限界があるとされてきたが、その正否をめぐる論争に対し、この標準量子限界を打ち破る測定のモデルを数学的に構成することにより、決着をつけた。

【研究種目】一般研究(B)

【研究期間】1987 - 1989

【配分額】3,600千円 (直接経費: 3,600千円)