【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】22340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

エルゴード理論 / タイヒミュラー空間論 / 拡散過程 / 力学系 / ブラウン運動 / 測地流 / 確率解析 / 熱力学形式 / 力学ゼータ関数 / 生成作用素

【研究成果の概要】

先行研究において得られたタイヒミュラー空間のブラウン運動の候補となる拡散過程について、その推移確率密度関数が応用上重要な幾つかの不等式を満たすことを確かめることはできたが、内在的距離とタイヒミュラー距離との関係を明らかにするまでには至らなかった。 一方、力学系に関係する成果としては、RVZ 誘導変換の周期軌道に対応するような写像類群の双曲元について、チェボタレフ型の密度定理の成立を示唆する結果が得られた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2010-04-01 - 2014-03-31

【配分額】16,770千円 (直接経費: 12,900千円、間接経費: 3,870千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】21340030 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

マルコフ過程 / エルゴード性 / マルコフ半群 / 生成作用素のスペクトル / 対数 Sobolev 不等式 / 超縮小性 / 確率解析 / 半群 / 対数ソボレフ不等式 / スペクトルギャップ / スペクトル / 大数Sobolev不等式 / マルコフ性 / 生成作用素の一意性 / 凸集合の保存 / 非対称拡散過程 / リーマン多様体 / 超過函数 / Brown 運動 / Wiener空間 / 消散的半群 / Riemann多様体 / 非対称半群 / Dirichlet形式

【研究成果の概要】

主に、マルコフ過程を確率解析の手法で研究した。ここではマルコフ過程に付随する半群の挙動について主に調べた。まずリーマン多様体上の拡散過程を、半群の構成の立場から考察した。Laplace-Beltrami 作用素にベクトル場を加えた作用素を考え、ベクトル場の条件で半群が一意的に決まる条件を与えた。
次に半群の凸集合の保存性に関する条件を整理した。Banach 空間の場合には生成作用素で条件を記述し、Hilbert 空間の場合は Dirichlet 形式を用いて条件を与えた。
また対数 Sobolev 不等式の条件の下で不変測度への収束の速さを考察した。関連して双対超縮小性の条件を調べた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009-04-01 - 2014-03-31

【配分額】16,770千円 (直接経費: 12,900千円、間接経費: 3,870千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】17340036 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Wiener 空間 / Brown 運動 / 拡散過程 / 対数Sobolev 不等式 / スペクトルギャップ / 格子スピン系 / Hodge-Kodaira 作用素 / Hodge-Kodaira作用素 / 超縮小性 / 非対称半群 / リーマン多様体 / 不変測度 / ブラウン運動 / 確率解析 / Wiener空間 / スペクトルの跳び / Witten Laplacian / Wiener測度 / 対数Sobolev不等式 / Dirichlet形式

【研究成果の概要】

確率解析に関する研究を、主に関数解析的な手法で進めた。ここでは次のような結果を得た。(1)Hodge-Kodaira 作用素のmultiplier の L^p 有界性(2)Riemann 多様体上のSchrodinger 作用素に対する Littlewood-Paleyの不等式(3)作用素の交換関係と生成作用素(4)Wiener空間及び格子スピン系のSchrodinger作用素のスペクトルギャップの存在(5)1次元拡散過程の生き残り拡散過程の存在(6)非対称な半群に関する超縮小性のための条件と、リーマン多様体上の拡散過程への応用。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】11,380千円 (直接経費: 10,000千円、間接経費: 1,380千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】14204008 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / ブラウン運動 / Wiener空間 / 対数Sobolev不等式 / スペクトルの跳び / Schrodinger作用素 / Littlewood-Paley不等式 / Riemann多様体 / 半群の優評価 / Witten Laplacian / 格子スピン系 / 確立解析 / エントロピー / 交叉関係 / スカラーポテンシャル

【研究成果の概要】

代表者の研究は、無限次元空間を中心に拡散過程の研究を進めている。幾何的な考察も有効であるため、Riemann多様体の場合も平行して研究を進めている。ここで扱った問題はLittlewood-Paleyの不等式の確率論的な証明、生成作用素の平方とグラディエント作用素とのL^pノルムの同値性、Schrodinger作用素の本質的自己共役性、スペクトルの跳びなどである。生成作用素とグラディエント作用の交叉性を基本として解析を行った。そのためには空間の性質によらない方法が必要であり、特に関数解析的な手法が有効である。一般的な枠組みでは対数Sobolev不等式の仮定の下で、交叉関係の非可換な部分に指数可積分性を仮定して行った。また境界のあるRiemann多様体の場合も考察し、境界の凸性を仮定して同様の結果を得た。
また、Wiener空間上でL+V(LはOrnstein-Uhlenbeck作用素)の形のSchrodinger作用素を考察した。本質的自己共役性、定義域の特徴付け、スペクトルの跳びなどのための十分条件を与えた。さらにSchrodinger作用素に対し、Littlewood-Paleyの不等式の証明も行い、ポテンシャル項Vも考慮に入れた形で定式化を行い、従来の結果を一般化した。この手法はRiemann多様体上のHodeg-Kodaira作用素にポテンシャルを付け加えた形でも証明することが出来る。
なお、この科研費では多くの研究集会を開催し、支援を行った。以下主なものは述べる。2002年度に数理解析研究所のプロジェクト研究「確率解析とその周辺」の支援を行い、McKean, Ustunel, Rocknerなどの研究者招聘を行い、研究交流を促進して。また2003年、2004年にはサマースクールを開催、多くの学生の参加を得て活発な研究交流を行うことができた。さらに毎年シンポジウム「確率過程とその周辺」を開催し、確率論全体での研究交流を行った。全体で24個の研究集会を開催し、外国人研究者14人を招聘し多くの成果を上げることができた。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2002 - 2004

【配分額】40,040千円 (直接経費: 30,800千円、間接経費: 9,240千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】14204010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / 経路積分 / ブラウン運動 / 確率振動積分 / 熱核 / 漸近挙動 / ランダムウォーク / シュレディンガー作用素 / ウィナー汎関数 / ランダム場 / スペクトル / ウィシャート過程 / ブラウニアンミアンダー / ダイの定理 / 経路空間 / 確率微分方程式 / ディリクレ形式 / 跡公式

【研究成果の概要】

(1)経路空間上のフーリエ・ラプラス型変換である確率振動積分の厳密表現の研究,漸近挙動の研究,非線型偏微分方程式への応用の研究を行った.2次ウィナー汎関数を相関数とする場合に,付随するヒルベルト・シュミット作用素を用いてレヴィ・伊藤型の指数関数表示を与え,確率振動積分の具体的な指数減衰評価を得た.また相関数が多項式係数確率経路積分の場合にも具体的な指数減衰評価を確立した.ガウス型振幅関数を持つ確率振動積分に対し指数減衰主要部の停留点への集中を証明し,経路空間上での停留位相法確立への可能性を見いだした.さらにKdV階層タウ関数のオレンシュタイン・ウーレンベック過程から定まる確率振動積分による確率解析的表示を発見し,タウ関数と確率過程の間の全単射関係を証明し,確率解析の非線型方程式理論への新しい応用を見いだした.(2)具体的な経路空間上の汎関数に関し詳細な研究を行った.数理ファイナンス,ランダム媒質中の拡散過程,双曲空間上のブラウン運動などの研究への確率解析の応用において重要な役割を果たす幾何ブラウン運動の時間積分として定まる指数型汎関数について,その分布を決定し,密度関数の漸化式を確立した.また,正値対称行列値過程であるウィシャート過程の確率法則の絶対連続性,それに関わるいくつかの等式を証明し,双曲型平面上のブラウン運動を用いて微分形式に作用するラプラシアンに対するセルバーグ跡公式の確率解析的証明を与えた、さらにp進上半平面での跡公式に対する準安定過程を用いた確率解析的考察を行った.(3)一般の空間での熱核がガウス型評価をもつための判定のしやすい十分条件を与え,複雑な系の上に拡散過程を構成し,さらに熱核の詳細な評価式を得た.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2002 - 2005

【配分額】31,980千円 (直接経費: 24,600千円、間接経費: 7,380千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07304020 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確立過程 / 確率解析 / 数理ファイナンス / フラクタル / 流体力学極限 / エルゴ-ト理論 / 確率制御 / ブラウン運動 / 確率過程 / 確率微分方程式 / パーコレイション / 無限粒子系 / シュレ-ディンガー作用系 / 無限次元解析 / 極限定理 / 力学系

【研究成果の概要】

この研究は平成7年度と8年度にわたって行った。内容については研究成果報告書にあるように我国で行われている確立論の多くの分野にわたることについて計12日の研究集会を開き,研究情報の交換を行った。
特にその中でも,数学の他の分野,あるいは数学以外の分野との交流が多く持てたことに大へん意義があった。統計物理,数理生物,数理ファイナンス,数学の分野では討論,微分方程式,スペクトル理論,微分幾何,等々関連する分野の研究に親展があった。
また7年度と8年度に1度づつ夏の学校を開き,若い研究者,学生に対して現在活発に進行中の話題,つまり「流体力学極限」と「エルゴ-ト理論と数論」の2つの主題について,専門の研究者に連続講演をお願いした。これは,若い世代に自分の研究の方向付けを与えるものとして非常に意義深いものであったと思う。
さらに各分野を統合する研究集会を各年の12月に開催した。これにより,ともすれば狭い専門に限られて関心を広げることができたと思う。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1996

【配分額】17,500千円 (直接経費: 17,500千円)