【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】14204008 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / ブラウン運動 / Wiener空間 / 対数Sobolev不等式 / スペクトルの跳び / Schrodinger作用素 / Littlewood-Paley不等式 / Riemann多様体 / 半群の優評価 / Witten Laplacian / 格子スピン系 / 確立解析 / エントロピー / 交叉関係 / スカラーポテンシャル

【研究成果の概要】

代表者の研究は、無限次元空間を中心に拡散過程の研究を進めている。幾何的な考察も有効であるため、Riemann多様体の場合も平行して研究を進めている。ここで扱った問題はLittlewood-Paleyの不等式の確率論的な証明、生成作用素の平方とグラディエント作用素とのL^pノルムの同値性、Schrodinger作用素の本質的自己共役性、スペクトルの跳びなどである。生成作用素とグラディエント作用の交叉性を基本として解析を行った。そのためには空間の性質によらない方法が必要であり、特に関数解析的な手法が有効である。一般的な枠組みでは対数Sobolev不等式の仮定の下で、交叉関係の非可換な部分に指数可積分性を仮定して行った。また境界のあるRiemann多様体の場合も考察し、境界の凸性を仮定して同様の結果を得た。
また、Wiener空間上でL+V(LはOrnstein-Uhlenbeck作用素)の形のSchrodinger作用素を考察した。本質的自己共役性、定義域の特徴付け、スペクトルの跳びなどのための十分条件を与えた。さらにSchrodinger作用素に対し、Littlewood-Paleyの不等式の証明も行い、ポテンシャル項Vも考慮に入れた形で定式化を行い、従来の結果を一般化した。この手法はRiemann多様体上のHodeg-Kodaira作用素にポテンシャルを付け加えた形でも証明することが出来る。
なお、この科研費では多くの研究集会を開催し、支援を行った。以下主なものは述べる。2002年度に数理解析研究所のプロジェクト研究「確率解析とその周辺」の支援を行い、McKean, Ustunel, Rocknerなどの研究者招聘を行い、研究交流を促進して。また2003年、2004年にはサマースクールを開催、多くの学生の参加を得て活発な研究交流を行うことができた。さらに毎年シンポジウム「確率過程とその周辺」を開催し、確率論全体での研究交流を行った。全体で24個の研究集会を開催し、外国人研究者14人を招聘し多くの成果を上げることができた。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2002 - 2004

【配分額】40,040千円 (直接経費: 30,800千円、間接経費: 9,240千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】14204010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / 経路積分 / ブラウン運動 / 確率振動積分 / 熱核 / 漸近挙動 / ランダムウォーク / シュレディンガー作用素 / ウィナー汎関数 / ランダム場 / スペクトル / ウィシャート過程 / ブラウニアンミアンダー / ダイの定理 / 経路空間 / 確率微分方程式 / ディリクレ形式 / 跡公式

【研究成果の概要】

(1)経路空間上のフーリエ・ラプラス型変換である確率振動積分の厳密表現の研究,漸近挙動の研究,非線型偏微分方程式への応用の研究を行った.2次ウィナー汎関数を相関数とする場合に,付随するヒルベルト・シュミット作用素を用いてレヴィ・伊藤型の指数関数表示を与え,確率振動積分の具体的な指数減衰評価を得た.また相関数が多項式係数確率経路積分の場合にも具体的な指数減衰評価を確立した.ガウス型振幅関数を持つ確率振動積分に対し指数減衰主要部の停留点への集中を証明し,経路空間上での停留位相法確立への可能性を見いだした.さらにKdV階層タウ関数のオレンシュタイン・ウーレンベック過程から定まる確率振動積分による確率解析的表示を発見し,タウ関数と確率過程の間の全単射関係を証明し,確率解析の非線型方程式理論への新しい応用を見いだした.(2)具体的な経路空間上の汎関数に関し詳細な研究を行った.数理ファイナンス,ランダム媒質中の拡散過程,双曲空間上のブラウン運動などの研究への確率解析の応用において重要な役割を果たす幾何ブラウン運動の時間積分として定まる指数型汎関数について,その分布を決定し,密度関数の漸化式を確立した.また,正値対称行列値過程であるウィシャート過程の確率法則の絶対連続性,それに関わるいくつかの等式を証明し,双曲型平面上のブラウン運動を用いて微分形式に作用するラプラシアンに対するセルバーグ跡公式の確率解析的証明を与えた、さらにp進上半平面での跡公式に対する準安定過程を用いた確率解析的考察を行った.(3)一般の空間での熱核がガウス型評価をもつための判定のしやすい十分条件を与え,複雑な系の上に拡散過程を構成し,さらに熱核の詳細な評価式を得た.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2002 - 2005

【配分額】31,980千円 (直接経費: 24,600千円、間接経費: 7,380千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】11440045 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

半群の優評価 / 半群の交換関係 / 平方場作用素 / Litlewood-Paley不等式 / 乗法作用素 / 第2基本形式 / Hodge-Kodaira作用素 / 対数Sobolev不等式 / Littlewood-Paley不等式 / ブラウン運動 / 半群の比較 / Schrodinger作用素 / 生成作用素の定義域 / Riesz変換 / Brown運動 / Dirichlet形式 / 反射壁Brown運動 / 基本解 / 準楕円性

【研究成果の概要】

半群の優評価定理と,交換定理(あるいは交差定理)について主に研究してきた.比較定理は2つの半群に対し,|T^^→_tu|【less than or equal】T_t|u|の形の優評価を与えるものである.uとして特に多様体の上の微分形式などのベクトル値関数を想定している.生成作用素による一般的な同値条件は知られているが,ここでは平方場作用素を用いた定式化で十分条件を与えた.正値性と局所性が本質的な条件である.交換定理については生成作用素L, L^^→に対し,DL=L^^→D+Rの形の不完全交差性が成立するための,半群やレゾルベントの条件を決定した.これらの枠組は,一つにはBakry-EmeryのΓ_2理論の再構成を与えることが目的であるが,境界条件のある拡散過程などを取り入れることも出来,一般化にもなっている.その他の応用として,Littlewood-Paleyの不等式の証明や,あるいはL^p乗法作用素定理などの証明のために用いることが出来る.Littlewood-Paleyの不等式に関しては境界のあるコンパクトRiemann多様体の場合を考察し,境界の第2基本形式が正であるという条件の下で不等式を示した.これを用いるとRiesz変換のL^pでの連続性を導くことが出来る.この問題はDirichlet形式に対して対数Sobolev不等式が成立するという一般的な枠組でΓ_2に対し指数可積分性を仮定すれば同様に証明できることも示した.L^p乗法作用素定理は一般に作用素Aに関してφ(A)がL^pにおける有界作用素を与えるためのφの条件を与えることである.φが有界関数のLeplace変換型で与えられるときに,マルコフ半群に対してSteinが示した結果が有名である.ここではこの結果をRiemann多様体上の微分形式に対するHodge-Kodaira作用素に対して同様に成立することを示した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2001

【配分額】5,500千円 (直接経費: 5,500千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】08640197 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線型偏微分方程式 / 圧縮性粘性気体 / Duffing方程式 / 倍周期分岐 / Kummerの合流型微分方程式 / Schrodinger作用素 / ブラウン運動 / Airy型微分方程式

【研究成果の概要】

流体力学に現れる様々な非線形偏微分方程式系の解の構造について考察し、以下の様な成果を得た。
1)代表者松村は愛媛大学:柳と共同して、有界区間上での一次元圧縮性粘性気体の等エントロピーモデルに対する時間周期界を考察し、任意の有界な外力に対し比熱比が1に近ければ解は時間一様に有界であることを示した(論文[Uniform...])。これは周期解の存在を示す基本評価である。次に、この気体方程式に密接に関連するDuffingの常微分方程式に対し、鹿野忠良、古谷真一、小松幸恵等と協力し、ある周期外力の族に対し、無限に多くの周期解の倍周期分岐が存在することを示した(論文[A period-doubling...])。
2)伊達悦朗はKummerの合流型微分方程式、またはその多変数化のq-変形であるq-差分方程式系の隣接関係式について調べ、その生成する代数を決定した(論文[On cotiguity...])。
3)磯崎洋はSchroedinger作用素の多次元逆散乱問題を考察し、方向に依存するグリーン関数につて超局所解析の立場から新たな結果を得た(論文[Multi-dim...])。
4)厚地淳はブラウン運動を考察し、その非有界領域からの最小脱出時間の末尾分布の宣漸近挙動が、ある種の領域の幾何的量によって決まることを示した(論文[Notes on...])。
5)大山陽介は、ある3階のAiry型の微分方程式のWKB解を考察し、接続問題や無限遠のまわりのStokes係数を計算した(論文[WBK...])。
6。小松玄は平地健吾と共に、Bergman核の特異性の不変表現に関し新たな結果を得ると共に近年の成果についての概説をまとめた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1996

【配分額】2,100千円 (直接経費: 2,100千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07304020 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確立過程 / 確率解析 / 数理ファイナンス / フラクタル / 流体力学極限 / エルゴ-ト理論 / 確率制御 / ブラウン運動 / 確率過程 / 確率微分方程式 / パーコレイション / 無限粒子系 / シュレ-ディンガー作用系 / 無限次元解析 / 極限定理 / 力学系

【研究成果の概要】

この研究は平成7年度と8年度にわたって行った。内容については研究成果報告書にあるように我国で行われている確立論の多くの分野にわたることについて計12日の研究集会を開き,研究情報の交換を行った。
特にその中でも,数学の他の分野,あるいは数学以外の分野との交流が多く持てたことに大へん意義があった。統計物理,数理生物,数理ファイナンス,数学の分野では討論,微分方程式,スペクトル理論,微分幾何,等々関連する分野の研究に親展があった。
また7年度と8年度に1度づつ夏の学校を開き,若い研究者,学生に対して現在活発に進行中の話題,つまり「流体力学極限」と「エルゴ-ト理論と数論」の2つの主題について,専門の研究者に連続講演をお願いした。これは,若い世代に自分の研究の方向付けを与えるものとして非常に意義深いものであったと思う。
さらに各分野を統合する研究集会を各年の12月に開催した。これにより,ともすれば狭い専門に限られて関心を広げることができたと思う。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1996

【配分額】17,500千円 (直接経費: 17,500千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】62460006 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

出生死亡過程 / マルコフ過程 / 自己相似過程 / ガウス型通信路 / ブラウン運動 / 確率制御問題 / 対数型拡散核 / 解析的容量 / 自己分解可能分布 / フィ-ドバック / 確率制御 / シュレ-ディンガ-作用素 / 組みひも群 / 公理A / 加法過程 / リーマン多様体 / 有理型関数 / 特異点集合 / ヤン・バクスター方程式 / サボーディネイション / 再帰性 / ディリクレ核 / ピカール集合 / 標準量子限界

【研究成果の概要】

1.出生死亡過程に対し、一般化された滞在時間の分布を決定することに成功した。 2.指数的変換を施した増加加法過程による従属操作で得られるマルコフ過程に対し、指数的変換のパラメ-タ-を無限大に近づけたときの極限定理を証明した。 3.独立増分をもつ自己相似過程を組織的に研究し、それとL分布との関係を明らかにした。さらに、作用素自己相似性をもつ過程で独立増分をもつものと、作用素自己分解可能分布との間に、同様の関係が成り立つことを示した。 4.連続時間のガウス型通信路において、フィ-ドバックのある時の通信路容量がフィ-ドバックのない時の通信路容量の2倍になるものが存在することを示し、一般に2倍でおさえられるという結果が、それ以上改善できないことを示した。 5.リ-マン多様体の上のブラウン運動に対しその推移確率の下からの評価を与え、ある条件の下で、ブラウン運動に対する大局的な重複対数の法則を示した。 6.ユ-クリッド空間全体の上でのエルゴ-ド的確率制御問題をシュレ-ディンガ-作用素の固有値問題と関連づけて考察し、ある非線形偏微分方程式の正値解の漸近挙動を求めた。 7.マルコフ過程と密接な関連を持つ公理論的ポテンシャル論において、対数型拡散核の特徴づけを行うとともに、放物型ポテンシャルの境界挙動、連続関数核の正則部と特異部への分解を考察した。 8.除外的に分岐しているような一価有理型関数の存在しないような、非孤立特異点だけから成る特異点集合の条件を与え、さらにその考察を精密化した。 9.コ-シ-変換のノルムを評価し、解析的容量の評価を与え、またビュフォンの針の確率との関係を調べた。 10.自由質点の位置の連続測定には標準量子限界と呼ばれる測定精度の限界があるとされてきたが、その正否をめぐる論争に対し、この標準量子限界を打ち破る測定のモデルを数学的に構成することにより、決着をつけた。

【研究種目】一般研究(B)

【研究期間】1987 - 1989

【配分額】3,600千円 (直接経費: 3,600千円)