【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17540105 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

一次元拡散過程 / 一般化逆正弦法則 / ブラウン運動 / ランダム媒質 / 逆正弦法則 / 安定分布 / 局所時間 / 拡散過程 / ベッセル過程

【研究成果の概要】

主として一次元拡散過程の加法的汎関数、特に正側滞在時間について、時間無限大での漸近挙動について調べた。歴史的にはこの問題は、ブラウン運動やランダム・ウォークの場合については逆正弦法則に従うことがよく知られており、多くの人々によって様々な一般化がなされてきた。Lampertiは非常に一般的な離散時間の確率過程について可能な極限分布(一般化された逆正弦法則)と、その吸引域を与えた。一次元拡散過程には彼の定理はそのまま適用出来ないが、この場合についてはS.Watanabeにより同様な結果が得られている。これらは古典的な結果であるが、最近はファイナンス理論との関係が指摘されて再び注目をあびている。本研究では、ブラウン運動にランダムなドリフトをつけた拡散過程(ランダム媒質中の拡散過程)やその離散モデルであるランダム媒質中のランダムウォークの場合について片側滞在時間について研究した。主な結果は次の通りである。(1) ある種の0-1法則が成り立つこと。すなわち、ある条件のもとではランダムな環境を固定する毎に殆ど確実に片側滞在時間はベルヌイ型確率変数に確率収束する。(2) そのとき、ランダム媒質が安定型であれば、片側滞在時間は目盛でみるとある非退化な分布に法則収束している。これらの結果は渡辺信三氏との共同研究でありStoch. Proc. Apl. に掲載予定である。また最近Lampertiの古典的な片側滞在時間に関する極限定理について、矢野裕子氏他が関数型定理を証明したが、その定理で除外されていた指数0のケースの特殊について、非線形正規化を行えば非退化の極限分布が現れることを証明した。これは鈴木桜子氏との共同研究であり、学士院紀要にて出版された。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】3,470千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 270千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】11640137 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ブラウン運動 / 拡散過程 / ランダム媒質 / ブラウンポテンシャル / レヴィ過程 / 自己相似過程 / 従属操作 / 多次元timeのブラウン運動 / マルコフ過程 / 極限分布 / レヴィ測度

【研究成果の概要】

本研究は,主としてランダム媒質の中の拡散過程の長時間後の極限的振る舞いに関するものである.「ランダム媒質の中の」の代りに「ランダムポテンシャルをもつ」という表現を用いることもある.
1.半直線[0,∞)上のブラウンポテンシャルをもつ反射壁拡散過程に対して,その適当なスケーリングのもとに得られる極限の確率過程が時間的非一様な自己相似レヴィ過程になることが示され,そのレヴィ測度の具体的な形が求められた(研究発表の欄の第1の論文).
2.R=(-∞,∞)におけるランダムポテンシャルとして原点の左側ではブラウン運動,右側では恒等的に0としたものを考え,このランダムポテンシャルをもつR上の拡散過程の長時間後の極限的振る舞いに関しては従来よく研究されていたモデルの場合とは著しく異なった新しい結果が得られた(研究発表の欄の第3の論文).
3.多次元timeのブラウン運動の種々の領域での最小値,最大値の分布の滑らかさについての結果が得られた.この結果を用いて,多次元timeのブラウン運動の見本関数に対しては「相異なる時点で同じ値の極小値をとることはない」ことが示された.このことは媒質が多次元の場合,例えばランダム媒質として多次元timeのブラウン運動をとった場合の研究へ進むためにも必要なステップとしての意味がある(研究発表の欄の第9論文).
4.マルコフ過程の従属操作は時間的一様の場合に限るものであったが,時間的に非一様なマルコフ過程に対しても拡張された意味での従属操作が可能であることがわかった.また,これに関連して不連続型のマルコフ過程の乗法的汎関数のあるクラスについて具体的表示が得られた.これらは,ランダム媒質が時間とともに変化する場合の研究のための予備的考察(マルコフ過程の種々の構成法の検討)としてなされた.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1999 - 2000

【配分額】2,100千円 (直接経費: 2,100千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07454034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ブラウン運動 / 拡散過程 / オペレーター自己相似過程 / 極限定理 / 群作用の剛性 / 超越数 / エルゴード的変換 / 大偏差原理 / ホワイトノイズ媒質 / 流体力学極限 / 自己相似過程 / ナビェ・ストークス方程式 / 自由境界問題 / ランダム媒質

【研究成果の概要】

本研究は、確率論・エルゴード理論・微分幾何・偏微分方程式等、数学の諸分野の研究者により確率論とその関連解析学における研究を行ったものである。
1.(1)ホワイトノイズ媒質の中のドリフト係数χ(正の定数)をもつブラウン運動(拡散過程)の長時間後の振舞いについて、χが小さいときは片側安定型の極限定理が、またχがある程度大きいときは殆んどすべての見本媒質に対し中心極限定理が成立することが証明された(田中)。(2)オペレーター自己相似過程の極限定理に関する種々の新しい結果が得られた(前島)。(3)大偏差原理の精密な解析において従来の結果を非対称なマルコフ過程の場合にまで拡張することに成功した(田村)。(4)1次元格子上の実数値スピン場の時間発展系の構成とその流体力学極限の問題において新しい結果が得られた(鈴木)。
2.エルゴード理論関係においては、主として有限な不変測度をもたないエルゴード的変換の分類研究が進められ、とくにII型とIII型の変換の分類の不変量として現われる「整数の無限集合」の数論的構造が明らかにされた(伊藤)。
3.群作用の剛性問題に対し確率解析を用いる新しい方法が金井により提唱された。またコンパクト多様体のリーマン計量全体の空間における微分同相写像の群の研究においてゼータ-関数が導入された(前田)。
4.非圧縮性ナビェ・ストークスの研究において、局所解・大域解につき種々の新しい結果が得られた(谷)。
5.超越数の研究において、ヤコビ・データ級数の値の代数的独立性と、フィボナッチ数を用いて定義されるある種の級数値の超越性の証明がなされ、その結果としてLiouvilleの一予想(超越数に関するもの,1851年)が解決された(塩川、他)。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1995 - 1996

【配分額】4,500千円 (直接経費: 4,500千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】04452011 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

拡散過程 / ブラウン運動 / ランダム媒質 / オペレーター安定過程 / II_∞,III型のエルゴード的変換 / 調和写像 / モース・フロー / 無限次元Lie環 / オヘレーター安定過程 / II∞、III型のエルゴード的変換 / 調和写像とモース・フロー / ポアンカレ・バーコフ・ウイットの定理 / 自己相似過程 / ナビエ・ストークス方程式 / 自由境界問題 / trimmed sum

【研究成果の概要】

本研究では,確率論および関連する解析学の諸問題について確率論・解析学その他数学の広い分野の研究者が分担して研究を行った。各分担者は各種シンポジウムへの出席を通して研究を進展させて行き,研究発表の欄にあるように多くの雑誌にその成果を発表した。
1.ランダム媒質の中の拡散過程の研究においては,媒質がブラウン運動の場合,さらには自己相似的に近いかなり広いクラスのランダム媒質の場合に,その中を動く拡散過程の局在性を証明した。この研究を更に発展させるため,吸収壁レヴィ過程の優調和変換について研究した。また,多次元ブラウン媒質の中の拡散過程は再帰的であるという結果を得た(田中).自己相似過程の研究については,とくにオペレーター安定過程がとりあげられ,その基本的性質,例,極限定理について新しい結果が得られた(前島).
2.エルゴード理論の研究においては,有限な不変測度をもたないエルゴード的変換に特有な性質を種々の歓的から研究し,とくに付随するコサイクルの性質を通して変換の分類問題に対する新しい知見を得た(伊藤).
3)非線型偏微分方程式の研究においては,調和写像型の滑らかなモース・フローの構成がなされた(菊池)。それはある変分汎関数列を考えるもので,その汎関数列に対応するオイラー・ラグランジュ方程式の解析に基づいている。
4.不規則系の解析数論的研究として,ビリヤードモデルをもとにして定義される数列の複雑さについて考察し,新しい結果を得た(塩川)。
5.前田は,無限次元ILH-Lie環に自然に定められたポアソン構造について,その代数的構造の変形可能性を証明した。

【研究種目】一般研究(B)

【研究期間】1992 - 1993

【配分額】6,100千円 (直接経費: 6,100千円)