【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】13440030 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率過程 / 大偏差原理 / フェルミオン過程 / フレドホルム行列式 / ウィーナー汎関数 / エントロピー / 漸近挙動 / 熱核 / ウイーナー汎関数 / 関数力学系

【研究成果の概要】

大偏差原理は、大数の法則、中心極限定理に次ぐ確率論の基本法則であり、対象に応じてさまざまな様相を見せる。本研究では、2,3の確率過程を対象としてその構造を明らかにすることから始めて、それぞれの場合の大偏差原理の諸相を明らかにすることを目的とした。最も力点を置いた確率過程のクラスは、フェルミオン過程、ボゾン過程およびその一般化であり、高橋と白井はフレドホルム行列式に付随する(確率点場に関する研究を遂行し、ボゾン過程、フェルミオン過程に対応するボゾン統計、フェルミ統計を一般化したα統計を提唱、パラメータがα=-1/n(n=1,2,...)の場合およびα=2/m(m=1,2,...)の場合に確率点場が存在することを確率論的な構成方法を発見することにより証明した。同時にこれ以外の場合についてαパーマネントの非負性を予想し、SpohnやJohannsonの問題提起に応えて、1次元の拡散過程もしくは生成消滅過程に推移作用素の場合には非対称でもαパーマネントの非負性予想が成り立ち、したがって確率点場が存在すること等を発見した。以上の基礎結果をもとに、これらの確率点場に関する大偏差原理および基本的極限定理、エントロピーの評価やベルヌーイ性などを研究した。これらの成果はAnn.Probability、J.Functional AnalysisおよびASPM Series39巻に論文として公表した。さらに、Glauber dynamicsに関しても白井は一定の成果を挙げた。この他の分担者もそれぞれの研究を遂行し、樋口と白井はグラフ上の酔歩とシュレディンガー作用素、熊谷はフラクタル上の拡散過程、重川と日野はウィーナー空間、原は2次ウィーナー汎関数を研究し、成果を挙げた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2001 - 2003

【配分額】13,100千円 (直接経費: 13,100千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】06452015 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

流体力学極限 / 確率偏微分方程式 / 確率Burgers方程式 / Harnack不等式 / ランダム媒質 / 出生死滅過程 / 量子確率過程 / フラクタル / 差分作用素 / 熱核 / principal eigenfunction / 調和変換 / Dirichlet空間 / fractal / 拡散過程 / Liouville性 / マルコフ連鎖 / 再帰性 / 準安定挙動 / エントロピー / ギブス分布 / 大偏差原理 / 界面 / 反応拡散方程式 / 特異摂動 / バーガーズ方程式

【研究成果の概要】

6年度〜7年度(9月)の代表者の舟木は、まず格子上のHamilton系および格子気体モデルに対して統計力学における基本的な問題である流体力学極限を考察し、次いでランダムなノイズの加わった反応拡散方程式に対して反応項が大きくなるという特異摂動の問題を考え、方程式の解は時空の各点ごとに+1、-1に近づく。従って、二つの相+1、-1を分離するランダムな境面(界面)が現れることを示した。さらに、非線形波動を記述するBurgers方程式に対して初期値がランダムな場合について、種々の極限問題を取り扱った。また、Burgers方程式の拡散項のラプラシアンをそれの分数ベキで置き換えたとき、そのベキ数の解への影響について詳しく調べた。
市原は、色々な分野で重要な応用のある差分作用素に対し、大局的なHarnack不等式を証明し、そのポテンシャル論への一つの応用をしめした。また、数理物理などにおいて大変重要なランダム媒質の中の確率過程に関して、時間とともに変動するランダム媒質を導入し、それの下で運動する時間的非定常な出生死滅過程を定義し、このマルコフ過程の再帰性問題を、くりこみ理論の立場から論じた。特に、多次元格子上で再帰的及び非再帰的な例をそれぞれ構成した。
尾畑は、ホワイト・ノイズ超関数と量子確率過程論に関して種々の研究を行った。
熊谷は、フラクタル上の拡散過程の種々の特徴付け及びその拡散過程の熱核について長時間評価、短時間評価等を与えた。
その他の分担者も、それぞれ担当の分野で興味ある成果をおげた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1994 - 1996

【配分額】6,700千円 (直接経費: 6,700千円)