【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15740079 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

マルチンゲール / エントロピー / 漸近理論 / 中心極限定理 / 確率過程 / ノンパラメトリック推測 / 確率場 / 最大不等式 / 弱収束 / 確率解析 / 拡散過程 / 変化点 / 仮説検定 / 弱拘束

【研究成果の概要】

本研究は、これまで主に独立同一性の仮定で研究されてきたエントロピー法をマルチンゲールに拡張することであった。平成16度までにおいても有界変動をもつマルチンゲールの場合については研究されていたが、今年度においては、ジャンプを無限個もつような場合にまで拡張することに成功した。この結果によって、マルチンゲールに対するエントロピー法の理論は、少なくとも中心極限定理への応用を視野におく範囲に関しては最終結論に達したといえる。この結果は、Annals of Probability誌に投稿中であり、好意的なレビューを受けて改訂中である。
また、その応用として、レヴィ過程のノンパラメトリック推測の理論を展開した。特にNelson-Aalen推定量の汎関数の意味での漸近正規性を証明し、またそれが漸近有効であることも示した。その応用として、適合度検定のためのKolmogorov-Simrnov型統計量の漸近分布も導出した。これらの結果は統計学の基本的な部分に相当し、今後の研究の流れに大きな影響を与えると予想している。
本年度において、これらの成果を世界一流の研究者と議論すべく、さまざまな場で講演を行った。科学研究費補助金の援助を受け、ノルウェー大学において研究発表を行った。また、(科研費の援助ではないが)オランダ王国のGill教授、van der Vaart教授、van Zanten博士を訪ねて有益な議論を行った。このように、本研究は当初の予定通りの成果をもって終了することができた。今後の将来性も期待できる。

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】1,500千円 (直接経費: 1,500千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】14204008 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / ブラウン運動 / Wiener空間 / 対数Sobolev不等式 / スペクトルの跳び / Schrodinger作用素 / Littlewood-Paley不等式 / Riemann多様体 / 半群の優評価 / Witten Laplacian / 格子スピン系 / 確立解析 / エントロピー / 交叉関係 / スカラーポテンシャル

【研究成果の概要】

代表者の研究は、無限次元空間を中心に拡散過程の研究を進めている。幾何的な考察も有効であるため、Riemann多様体の場合も平行して研究を進めている。ここで扱った問題はLittlewood-Paleyの不等式の確率論的な証明、生成作用素の平方とグラディエント作用素とのL^pノルムの同値性、Schrodinger作用素の本質的自己共役性、スペクトルの跳びなどである。生成作用素とグラディエント作用の交叉性を基本として解析を行った。そのためには空間の性質によらない方法が必要であり、特に関数解析的な手法が有効である。一般的な枠組みでは対数Sobolev不等式の仮定の下で、交叉関係の非可換な部分に指数可積分性を仮定して行った。また境界のあるRiemann多様体の場合も考察し、境界の凸性を仮定して同様の結果を得た。
また、Wiener空間上でL+V(LはOrnstein-Uhlenbeck作用素)の形のSchrodinger作用素を考察した。本質的自己共役性、定義域の特徴付け、スペクトルの跳びなどのための十分条件を与えた。さらにSchrodinger作用素に対し、Littlewood-Paleyの不等式の証明も行い、ポテンシャル項Vも考慮に入れた形で定式化を行い、従来の結果を一般化した。この手法はRiemann多様体上のHodeg-Kodaira作用素にポテンシャルを付け加えた形でも証明することが出来る。
なお、この科研費では多くの研究集会を開催し、支援を行った。以下主なものは述べる。2002年度に数理解析研究所のプロジェクト研究「確率解析とその周辺」の支援を行い、McKean, Ustunel, Rocknerなどの研究者招聘を行い、研究交流を促進して。また2003年、2004年にはサマースクールを開催、多くの学生の参加を得て活発な研究交流を行うことができた。さらに毎年シンポジウム「確率過程とその周辺」を開催し、確率論全体での研究交流を行った。全体で24個の研究集会を開催し、外国人研究者14人を招聘し多くの成果を上げることができた。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2002 - 2004

【配分額】40,040千円 (直接経費: 30,800千円、間接経費: 9,240千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】09304022 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

流体力学極限 / Wiener汎関数 / Dirichlet形式 / 大偏差原理とエントロピー / フラクタル / スペクトルの漸近挙動 / ブラウン運動と酔歩 / 雑音の同型問題 / エントロピー / 大偏差原理 / 確率過程 / 確率解析 / 漸近挙動 / エルゴード性 / スペクトル / データ圧縮

【研究成果の概要】

本研究では3年間に渡り,確率解析、流体力学極限、エルゴード理論など確率論の諸分野の研究を推進し、順調な研究成果を挙げると共に、2,3の新しい動向へも寄与した。
確率解析においては、会田、重川を中心とした対数ソボレフ不等式など、無限次元空間上の関数空間における不等式の役割の認識の深化、および、谷口、松本を中心とした指数型汎関数に対する漸近挙動の研究の進展がとくに顕著であった。また、長田の仕事など、ディリクレ形式の理論に基づく確率解析の一般化という方向性も見逃せない動向である。
流体力学極限は、舟木、内山らを中心として、より現実的な方程式の解明というより困難な状況下で着実な成果を挙げると共に、その中から上記ディリクレ形式論における結果との対比という問題意識が鮮明になり、今後の進展が期待される。
エルゴード理論関係では、盛田による相関関数の研究などの成果を得た。なお、平成9年度に企画した情報理論など周辺分野との勉強会は、韓氏による情報理論における大偏差原理の研究などの波及効果をもたらしている。
古典的な理論、手法の現代的な再生は当初掲げた目標のひとつであった。これに関しては、熊谷らのフラクタル集合上の解析、厚地のネヴァリンナ理論への確率論的接近、濱名の酔歩の汎関数の精密評価、白井らのグラフのスペクトルでの成果が顕著である。
また、長井たちは確率制御理論の手法を援用することにより数理ファイナンスに新しい視点をもたらし、杉田、高信らは確率論的手法を駆使して擬似乱数の理論に貢献している。
さらに最終年度、渡辺信三氏のご尽力により、黒色雑音など雑音の同型問題という、将来大きく発展する可能性の大きい新動向を照会する機会がもてたことは幸いであった。
最後に、外国旅費の制限緩和により、海外の研究者との共同研究が大変スムーズになり、研究の推進に大いに役立ったことを記しておきたい。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】21,700千円 (直接経費: 21,700千円)