【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】24340022 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率過程 / シミュレーション / 数値解析 / 無限次元解析 / 確率微分方程式 / ジャンプ型モデル / Malliavin解析 / 確率変数 / Multi-levelモンテカルロ方法 / 密度関数 / BSDE / 近似

【研究成果の概要】

確率微分方程式はいろんな応用分野で使われているモデルである。このモデルによって動的にランダムに動く現象に対して説明できる方程式である。理論の観点ではいろんな展開があるが実際の計算を行うためにモンテカルロシミュレーションが必要である。この研究課題がこの設定で展開されている。特に確率微分方程式の係数が非滑らかであるときにシミュレーション方法の提案や数値解析の道具を構築することが目的である。
特にシステムの急な変化によりモデルのパラメーターが急に変化することによって普段使われているシミュレーション方法の制度が悪くなるため、新しい技術が必要であり、この課題でその技術の構築を目指した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2012-04-01 - 2015-03-31

【配分額】9,230千円 (直接経費: 7,100千円、間接経費: 2,130千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】20340032 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

場の量子論 / 無限次元解析 / 散乱理論 / スペクトル解析 / 汎関数積分 / 基底状態 / 半群 / 確率過程 / 1パラメター半群 / レヴィー過程

【研究成果の概要】

量子場相互作用系の基底状態の解析を行った.また汎関数積分表示を用いて非摂動的にその系の無限次元的な解析を行った.特にローレンツ多様体上に定義されたネルソン模型の基底状態の存在・非存在を示し,超局所解析をつかって紫外切断をはずした.続いて不定計量ヒルベルト空間に定義されたPauli-Fierz模型の完全漸近性を示した.Enhanced bindingについてはPauli-Fierz模型のno-binding領域を特定し,相対論的なNelson模型のenhanced bindingを示した.汎関数積分表示に関してはスピン1/2をもった相対論的シュレディンガー作用素の生成する熱半群をブラウン運動,ポアソン過程,subordinatorを用いて表し,非自明なエネルギー不等式を得た.またラプラシアンのベルンシュタイン関数から作られる一般化されたシュレディンガー作用素に対しても同様の経路積分表示を構成し, 場の理論のスピンーボゾン模型にもこれを応用し基底状態の一意性を示した.さらに確率2重積分をポテンシャルに持った無限体積Gibbs 測度の存在を示すことに成功した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2008 - 2010

【配分額】11,700千円 (直接経費: 9,000千円、間接経費: 2,700千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】07304020 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確立過程 / 確率解析 / 数理ファイナンス / フラクタル / 流体力学極限 / エルゴ-ト理論 / 確率制御 / ブラウン運動 / 確率過程 / 確率微分方程式 / パーコレイション / 無限粒子系 / シュレ-ディンガー作用系 / 無限次元解析 / 極限定理 / 力学系

【研究成果の概要】

この研究は平成7年度と8年度にわたって行った。内容については研究成果報告書にあるように我国で行われている確立論の多くの分野にわたることについて計12日の研究集会を開き,研究情報の交換を行った。
特にその中でも,数学の他の分野,あるいは数学以外の分野との交流が多く持てたことに大へん意義があった。統計物理,数理生物,数理ファイナンス,数学の分野では討論,微分方程式,スペクトル理論,微分幾何,等々関連する分野の研究に親展があった。
また7年度と8年度に1度づつ夏の学校を開き,若い研究者,学生に対して現在活発に進行中の話題,つまり「流体力学極限」と「エルゴ-ト理論と数論」の2つの主題について,専門の研究者に連続講演をお願いした。これは,若い世代に自分の研究の方向付けを与えるものとして非常に意義深いものであったと思う。
さらに各分野を統合する研究集会を各年の12月に開催した。これにより,ともすれば狭い専門に限られて関心を広げることができたと思う。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1996

【配分額】17,500千円 (直接経費: 17,500千円)