【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】13640165 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

熱核 / マルコフ過程 / 大偏差原理 / スペクトル / 主固有関数 / ロバチェフスキー空間 / 樹木 / ブラウン運動 / ディリクレ形式 / マルコフ連鎖 / 固定端過程 / 調和変換 / 主固有値 / 被覆空間 / 離散群 / 対称空間

【研究成果の概要】

推移確率密度関数が時間に関して指数関数オーダーで減衰するマルコフ過程に対してDonsker-Varadhan型の大偏差原理を系統的に調べることが目標であった。この種のマルコフ過程は非常に強い非再帰性を持ち、そのため通常の形の大偏差原理は成立しない。ここではこのマルコフ過程の固定端運動の経験分布の大偏差原理を考察した。我々の研究において本質的に重要な役割を果すのは、マルコフ過程の生成作用素のスペクトルの下端とそれに附随する(一般化された)正値固有関数(ここでは主固有関数と呼ぶ)である。基本的アイデアは、マルコフ過程をこの主固有関数で調和変換(Doobのh-変換の一般化とも言える)し、得られる新しいマルコフ過程に附随するレート関数を導入すると、それによって固定端運動に対する大偏差原理を証明することができる。具体的には、(i)多次元正方格子上の可逆な周期的マルコフ連鎖(離散時間および連続時間パラメータ)について、正方格子の離散トーラスに対する被覆性に基づいた議論により、大偏差原理を証明した。(ii)(i)におけるマルコフ連鎖について、スペクトルの下端が正になるための必要十分条件を、Ellisの大偏差の理論を利用して証明した。(iii)非ユークリッド的な状態空間の場合:(A)2次元ロバチェフスキー空間のブラウン運動、(B)樹木上のランダムウオーク、に対して大偏差原理を示した。(iii)の場合は、(i)にくらべるといくぶん弱い主張であるが、ファイマン-カッツ型の汎関数の平均に対する極限定理は、レート関数とL^2-スペクトルとの関係に着目することにより証明できた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2001 - 2002

【配分額】3,100千円 (直接経費: 3,100千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】06452015 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

流体力学極限 / 確率偏微分方程式 / 確率Burgers方程式 / Harnack不等式 / ランダム媒質 / 出生死滅過程 / 量子確率過程 / フラクタル / 差分作用素 / 熱核 / principal eigenfunction / 調和変換 / Dirichlet空間 / fractal / 拡散過程 / Liouville性 / マルコフ連鎖 / 再帰性 / 準安定挙動 / エントロピー / ギブス分布 / 大偏差原理 / 界面 / 反応拡散方程式 / 特異摂動 / バーガーズ方程式

【研究成果の概要】

6年度〜7年度(9月)の代表者の舟木は、まず格子上のHamilton系および格子気体モデルに対して統計力学における基本的な問題である流体力学極限を考察し、次いでランダムなノイズの加わった反応拡散方程式に対して反応項が大きくなるという特異摂動の問題を考え、方程式の解は時空の各点ごとに+1、-1に近づく。従って、二つの相+1、-1を分離するランダムな境面(界面)が現れることを示した。さらに、非線形波動を記述するBurgers方程式に対して初期値がランダムな場合について、種々の極限問題を取り扱った。また、Burgers方程式の拡散項のラプラシアンをそれの分数ベキで置き換えたとき、そのベキ数の解への影響について詳しく調べた。
市原は、色々な分野で重要な応用のある差分作用素に対し、大局的なHarnack不等式を証明し、そのポテンシャル論への一つの応用をしめした。また、数理物理などにおいて大変重要なランダム媒質の中の確率過程に関して、時間とともに変動するランダム媒質を導入し、それの下で運動する時間的非定常な出生死滅過程を定義し、このマルコフ過程の再帰性問題を、くりこみ理論の立場から論じた。特に、多次元格子上で再帰的及び非再帰的な例をそれぞれ構成した。
尾畑は、ホワイト・ノイズ超関数と量子確率過程論に関して種々の研究を行った。
熊谷は、フラクタル上の拡散過程の種々の特徴付け及びその拡散過程の熱核について長時間評価、短時間評価等を与えた。
その他の分担者も、それぞれ担当の分野で興味ある成果をおげた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1994 - 1996

【配分額】6,700千円 (直接経費: 6,700千円)