【研究領域課題番号】20K03639 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 確率解析 / 確率偏微分方程式 / 大域解析学 / 離散幾何解析 / マリアヴァン解析 / Dirichlet形式 / 大域解析

【研究成果の概要】

今年度も引き続き, 研究分担者の楠岡 誠一郎, 星野 壮登 両氏と共に, (2次元トーラス上の)exp(Φ)_{2}-量子場の確率量子化方程式の研究を電荷定数の条件をL^{1}-regimeの下で行った。昨年度までに, exp(Φ)_{2}-量子場を不変測度とする拡散過程を白色雑音が駆動する特異確率偏微分方程式の強解として直接構成し, Dirichlet形式から得られる拡散過程と一致することを示しており,論文を海外専門誌に投稿していたが, レフェリーとの複数回にわたるやりとりを通して, 論文の内容 (特に, 一般のFourierカットオフ作用素を用いたGauss乗法カオスの概収束性)も改良され, 今年度末に採択された。この成果は数理解析研究所講究録から概説論文としても出版された。さらには重みつきのexp(Φ)_{2}-量子場の確率量子化方程式に対する近似解のtightnessに関する論文も出版された。これらの成果についての口頭発表は, いくつかの(オンライン)研究集会で研究分担者により行われた。
その一方で, コロナ禍が長引き, 共同研究者達との対面での研究連絡に支障が生じた。特に量子場の離散幾何解析的な研究に関する議論であるが, 問題の枠組みをどう設定するかというところでまとまりきっていない。来年度には対面による研究連絡をできるだけ多く行い, この方面でも更なる進展が得られることを期待したい。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2020-04-01 - 2023-03-31

【配分額】4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】17K05300 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 確率解析 / 確率偏微分方程式 / ラフパス理論 / 離散幾何解析 / マリアヴァン解析 / Dirichlet形式

【研究成果の概要】

無限次元空間上のある微分作用素の一意性問題および対応する確率過程の構成の研究を主に行った。特に, 場の量子論のexp(Φ)_{2}-モデルに現れる超関数空間上のGibbs測度を可逆測度としてもつDirichlet作用素の一意性を証明し, 対応する拡散過程を特異確率偏微分方程式の一意強解として特徴付けた。またベキ零被覆グラフ上の非対称ランダムウォークに対する2種類の汎関数中心極限定理を, 離散幾何解析およびラフパス理論を融合することで証明した。

【研究の社会的意義】

近年の特異な確率偏微分方程式の理論の進展により, 無限次元空間上の確率解析と場の量子論の数学的研究の融合が進んでいるが, 本研究で得られた成果は, その中でも中心的なexp(Φ)_{2}-モデルの数学解析における基礎定理である。またベキ零被覆グラフ上のランダムウォークの中心極限定理に関する成果であるが, 確率微分方程式の解の離散近似とも解釈できるので, 確率数値解析への波及も期待できる。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2017-04-01 - 2022-03-31

【配分額】4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】26400134 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / 微分作用素 / 中心極限定理 / 確率偏微分方程式 / rough path理論 / 結晶格子 / ベキ零被覆グラフ / ランダムウォーク / 確率論 / 一意性定理 / 離散幾何解析 / ラフパス理論 / マリアヴァン解析

【研究成果の概要】

無限次元空間上のある微分作用素の一意性問題および対応する確率過程の構成の研究を主に行った。特に, 場の量子論のexp(phi)_{2}-モデルに現れる超関数空間上のGibbs測度を可逆測度としてもつDirichlet作用素の一意性および対応する拡散過程の(特異な)確率偏微分方程式を用いた特徴付けを研究した。また結晶格子やベキ零被覆グラフ上の非対称ランダムウォークに対する中心極限定理を, 離散幾何解析の観点から研究し, ラフパス理論への応用も考察した。さらに, 抽象Wiener空間上のGauss測度全体のなす多様体の研究も行った。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2014-04-01 - 2017-03-31

【配分額】4,810千円 (直接経費: 3,700千円、間接経費: 1,110千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】20740076 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / マリアヴァン解析 / Rough Path理論 / 微分作用素 / 一意性問題 / Riesz変換 / 経路空間 / Gibbs測度 / 一意性定理 / rough path理論

【研究成果の概要】

無限次元空間上のヘルマンダー型微分作用素および対応する確率過程について、マリアヴァン解析、Rough Path理論、確率偏微分方程式、Dirichlet形式を用いて研究を行った。このうち経路空間上のGibbs測度に関するRiesz変換の成果の一部は論文として出版された。また以前の微分作用素の一意性問題の研究の枠組を拡張することにより、この問題の理解をさらに深めることができ、微分作用素の一意性だけでなくDirichlet形式のアプローチから確率偏微分方程式の一意な強解を構成することができた。この成果は国内外の研究集会で発表され、論文は専門学術誌に投稿中である。また、ループ空間上のブラウン運動を例とする無限次元確率過程に関する振動型汎関数積分の漸近挙動を、Rough Path理論とマリアヴァン解析を組み合わせて研究し、今後の研究の方向性をつかんだ。

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2008 - 2010

【配分額】4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18840034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / rough path理論 / マリアヴァン解析 / Riesz変換 / Littlewood-Paley-Stein不等式 / 経路空間 / Gibbs測度 / ラプラス型汎関数積分 / 漸近展開 / ヘルマンダー作用素

【研究成果の概要】

今年度は主に、Riesz変換に関する研究を行った。これは解析学、確率論、幾何学にまたがる重要な研究分野である。まず以前の御代川知宏氏との共同研究では調和解析で重要なLittlewood-Paley-Stein不等式が一般の距離空間上にて成立することを確率解析的なアプローチで論じたわけだが、証明のギャップを埋め、J. Math. Sci. Univ. Tokyoに出版させることができた。これと昨年度出版された二階微分作用素の本質的自己共役性に関する成果を組み合わせることにより、Gibbs測度を参照測度とする経路空間上のRiesz変換の有界性を得ることができた。証明のあらすじは、今年度R工MS講究録別冊に出版された論文の中に述べられている。詳細を述べた論文は現在準備中である。またこれらの成果の総合報告として、2007年9月に東北大学にて開催された日本数学会の統計数学分科会にて特別講演を行った。この研究は将来、場の量子論などに現れる無限次元空間上の微分作用素の準楕円性などをを議論する際に必要不可欠なSobolev空間理論の構築の第一歩であり、今後も継続していきたいと考えている。
また昨年度の研究の続きとしてバナッハ空間値の伊藤汎関数に関する振動積分型汎関数積分の研究を開始したが、そこではrough path理論だけでは不十分で、マリアヴァン解析を組み合わせる必要性の認識を得た。これからの知見に基づく無限次元空間上のマリアヴァン解析の応用およびrough path理論に関する研究は、これからの課題として今後も続けて行きたいと考えている。

【研究種目】若手研究(スタートアップ)

【研究期間】2006 - 2007

【配分額】2,250千円 (直接経費: 2,250千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17204009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率論 / 確率解析 / 確率過程 / 極限定理 / エルゴード理論 / モンテカルロ法 / 確率過程論 / 数理ファイナンス / マリアヴァン解析 / ランダム分割

【研究成果の概要】

本研究は確率論が本来持つ横断性を有機的に活用・発展させるために,様々な研究テーマの下で第一線で活躍する確率論研究者たちを分担者として,彼等の研究の総和をもって我が国の確率論研究に貢献することを目的としている.
当該研究期間内に4つの国際シンポジウムの主催・共催(確率論と数論,大規模相互作用系の析,数理ファイナンスに関するもの2つ),26の国内研究集会の主催・共催(うち毎年開催したのは,確率論サマースクール,ランダム作用素,エルゴード理論,確率論シンポジウム)に携わり,延べ285人の旅費(うち外国旅費13件)を負担した.
研究成果は多岐に渡る.例として代表者の研究成果を3つ述べる.(1)モンテカルロ法を確率的ゲーム(賭け)として定式化しコルモゴロフの乱数理論を用いることによって,モンテカルロ法におけるサンプリングの本質的な問題を明らかにした.さらにその解決のためには暗号理論における疑似乱数生成器の安全性の考えが有効であることが分かった.とくにモンテカルロ積分の場合には「ペアごとに独立なサンプリング法」が安全な疑似乱数生成器を実現していることを指摘した.(2)任意の有限体を係数に持つ2つのmonic多項式が互いに素である確率をアデール完備化を通して,拡張されたエルゴード定理を用いて計算した.(3)自然数列の代わりに独立確率変数の和の列を考えることにより,di-gamma関数のランダム化を考え,それに関する中心極限定理について研究した.これは半直線上のランダムな電荷分布の作るポテンシャルの揺らぎに関する結果と見ることができる.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】47,710千円 (直接経費: 36,700千円、間接経費: 11,010千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】13894004 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / マリアヴァン解析 / 流体力学極限 / 伊藤解析 / 数理解析研究所プロジェクト研究 / フラクタル / 大偏差原理 / 日本数学会国際研究集会

【研究成果の概要】

本研究は、14年度に予定されている、京都大学数理解析研究所プロジェクト研究「確率解析とその周辺」、日本数学会国際研究集会「大規模相互作用系に関する確率解析」という、確率解析に関する2つの大きな国際研究集会・共同研究を有意義かつ円滑に実施するための企画調査を目的として行われたこのために、以下のように全体会議、海外動向調査、研究者招聘によるコミュニケーションの深化を図った。
1.全体会議について:5月19日に大阪大学において初めての全体会合を持ち、各研究集会の基本的な枠組みについて話し合った。その後、代表者・分担者が各方面と連絡を取り合い、具体的な案作りを行った。これを受けて、10月4日に九州大学において2回目の全体会合を持ち、具体案の確認と今後の作業の分担の仕方について話し合った。
2.海外動向調査について:6月上旬に木上は、オーストリアでフラクタルの国際研究集会において視察・情報収集を行った。また、10月に松本は、フランスでの確率解析の国際研究集会を視察し、Elworthy教授、Yor教授らと、次年度にプロジェクト研究の一環として行われる研究集会の打ち合わせを行った。熊谷は、10月中旬よりイギリスを中心に、フランス、ドイツを2ヶ月に渡り歴訪し、イギリスのLyons教授、フランスのYor教授、Emery教授、ドイツのAlbeverio教授、Sturm教授らと事前の意思疎通を図るとともに近隣大学での最新の研究動向を詳細に調査した。これらの渡航の結果、ヨーロッパを中心とした確率解析の研究動向の最新情報を得るとともに、関連分野研究者とのコミュニケーションを深めることが出来た。
3.研究者招聘について:12月にOxford大学のHambly講師を招聘し、当該分野研究動向の報告を受けた。また、次年度に向けての日本側の準備状況を説明し、理解を得た。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2001

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)

【研究分野】統計科学

【研究領域課題番号】09780213 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

セミマルチンゲール / マリアヴァン解析 / 漸近展開 / 情報量基準 / ミキシング / 確率数値解析 / 最尤推定量 / 情報幾何 / 確率解析 / 漸近理論

【研究成果の概要】

幾何的なミキシング条件を満足する確率過程の汎関数の分布の漸近展開とその統計学大の応用に関して研究した。汎関数を表現する加法的汎関数のアンシラリー部分で線形な退化.がある場合でも公式の正当性を確認し、応用として、一般にこの種の退化が起こりうるMー推定量に対する3次の漸近展開を導き、拡散過程の場合に展開の係数を確率微分方程式の係数で具体的に与えた。
新しい応用として、情報量規準を漸近展開の立場から取り扱い、AIC,TIC,GICを統一的に導出できることを示した。これらは漸近期待値不偏性に基づく規準であるが、分布の漸近展開から出発したため、新しい規準として、たとえば、漸近中央値不偏な情報量規準(MUIC)が構成できた。これは情報量規準の導出において、損失関数の取り方の任意性に対する注意のつもりだったが、MUICは数値的にもかなり良い挙動をすることもわかった。
さらに、確率数値解析に関する研究を行った。具体的には、 (ジャンプのある)確率微分方程式の解Xをバナッハ空間に値を取る確率変数と見なし、その空間上で定義されたフレシェ微分可能な関数\F\との合成関数F(X)の関数f(F(X))の期待値を、オイラー・丸山スキームで近似するときの誤差限界を、まず\f\が滑らかなときに与えた。さらに、関数fが滑らかでないときにジャンプ型のマリアヴァン解析を使い、誤差限界について研究した。

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1997 - 1998

【配分額】2,200千円 (直接経費: 2,200千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】05740150 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / マリアヴァン解析 / 漸近展開 / マルチンゲ-ル

【研究成果の概要】

ランダムネスを含む系の推移を記述する確率過程の統計的推測は時系列データ解析をその一部とし,工学,経済学,生物学などの広範な分野に応用のある新しい統計学の分野である。本研究では確率過程の一つのクラスである拡散過程,点過程の推定,検定などの数理統計的研究と統計手法の数学的基礎付けを行い以下の成果を得た。
1.マリアヴァン解析と汎関数の漸近展開法を統計の立場から整理し,尺度混合型分布の漸近展開や,縮小推定量の分布の漸近展開を導いた。
2.統計学に現れる推定関数は連続関数の空間に値を取る汎関数と見なすのが自然である。このようなバナッハ空間に値をとる汎関数のなす空間を定義し,これが完備であることを示した。これは拡散過程のパラメトリックモデルを扱うときに重要になる。また,推定関数がある意味で滑らかなとき,推定関数に対応するM-推定量にこの滑らかさが遺伝することを示した。これによって,M-推定量に対して普通のマリアヴァン解析が適用可能となる。
3.独立観測に対して,統計量の漸近展開を証明するとき,クラ-メル条件を仮定することが多いが,マルチンゲ-ルに対して同様のことをするのは困難である。クラ-メル条件の代わりに,マリアヴァン共分散の非退化性を仮定することによって,マルチンゲ-ルにたいする分布の漸近展開が証明された。
なお,これらの研究の為に,京都大学,九州大学,大阪大学,東京大学,東京工業大学,早稲田大学,富山大学,広島大学,名古屋大学等の関連分野の研究者と情報交換,セミナー,議論をした。

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1993

【配分額】700千円 (直接経費: 700千円)