【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】17K05325 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理物理 / 偏微分方程式論 / シュレーディンガー方程式 / 散乱理論 / スペクトル理論 / 差分作用素 / 閾値レゾナンス / 偏微分方程式 / 多体問題 / 関数解析学 / 関数方程式論 / 解析学 / 幾何学

【研究成果の概要】

当該年度には主に以下の2つの研究を行った．
1. 離散Schrodinger作用素に対する基本解の構成
一般次元超立方格子上の離散Laplace作用素に対し，組み合わせ論的な方法を用いて，すべての基本解を構成することに成功した．基本解は一般に一意ではなく，そのうちで無限遠方において適切な漸近挙動を持つもの（格子Green関数）が物理的な意味を持つ．低次元空間の場合，さらに付加的な情報を用いることで，基本解の集合から格子Green関数を抜き出すことができ，それは一般に知られているものと一致することが確かめられた．一方で，高次元では対応する付加的な情報を利用することができないため，格子Green関数を抜き出すことにはまだ成功していない．それゆえ，この結果はまだ発展途上と言え，次年度以降にも引き続き研究を進めていく予定である．
2. 複素パラメータに対する指数重み付き極限吸収原理
Euclid空間上のSchrodinger作用素に対し，そのレゾルベントの複素スペクトルパラメータにおける極限吸収原理を示すことができた．レゾルベントを考える関数空間としては指数重み付きAgmon-Hormander空間を用いており，これは最良の空間であると考えられる．証明には，これまでの研究でもたびたび利用してきた交換子の方法を用いるが，非自明な使い方をする箇所があり，一定の新規性があると考えられる．対応するRellichの定理の証明は困難であり，今のところ未完成である．また具体的な応用も今のところ見つかっていない．そのため，この研究もまだ発展途上と言える．次年度以降にも引き続き研究を進めていく予定である．

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2017-04-01 - 2023-03-31

【配分額】4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)

【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】16H03946 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

函数方程式 / 非線形解析 / 不可逆過程 / 発展方程式 / 函数解析 / 偏微分方程式 / 変分法 / 無限次元力学系 / 解析学 / 関数方程式

【研究成果の概要】

拡散現象に代表される不可逆現象は，時間の一方向性や老化現象，物体の破損など我々の生活と密接に関わる重要な現象の要因である．そのような不可逆現象の古典論は前世紀に確立したが，その後古典論の範疇から逸脱する重要な現象か数多く発見され，それらに対応すべく数理解析の研究が行われている．本研究課題では，様々な不可逆現象の記述に現れる新しい数理モデルに対応できる発展方程式論の新たな枠組みを構築した．特に破壊・損傷現象等に現れる強い不可逆性を伴うフェーズフィールド方程式，及び異常拡散等の記述に現れる分数冪ラプラス作用素を伴う非局所発展方程式に関しては基盤となる解析法が確立し，それぞれ系統的な研究を行った．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2016-04-01 - 2020-03-31

【配分額】13,520千円 (直接経費: 10,400千円、間接経費: 3,120千円)

【研究分野】解析学基礎

【研究領域課題番号】16H03938 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

確率解析 / ラフパス / 非整数ブラウン運動 / 確率微分方程式 / ラフ微分方程式 / 近似誤差分布 / 無限次元空間 / 経路依存方程式 / マリアバン解析 / 熱核 / パス空間 / 弱ポアンカレ不等式 / リッチ曲率 / 確率論 / 解析学 / 関数解析学 / 関数方程式論 / 数理物理

【研究成果の概要】

確率微分方程式およびラフパスで駆動される微分方程式の研究を行った。
具体的には、(1)半空間の場合の反射壁の確率微分方程式を含むような経路依存方程式のオイラー近似およびWong-Zakai近似の収束オーダーも込めた研究,(2)非整数ブラウン運動で駆動される1次元確率微分方程式の解の近似誤差分布の漸近挙動の決定, (3)一般の領域で定義された反射壁確率微分方程式や1次元ブラウン運動の場合の最大値過程を含むようなperturbed reflectedSDEを含むクラスのラフ微分方程式の解の存在の証明などの研究を行った.また, (2)の研究の多次元版の研究も行った.

【研究の社会的意義】

確率過程論においては, セミマルチンゲールというクラスの確率過程は基本的かつ重要であり, その解析は伊藤の確率解析としてよく知られている。しかし、一方このクラスに属さない重要な確率過程(例えば非整数ブラウン運動)も数多く、それらの確率過程の解析の重要性は様々なテクノロジーの発展とともにますます高まっている。これらの確率過程の解析においてラフパス解析は必須であり、本研究では、これらの確率過程で定まる微分方程式, Rough differential equationの解の基礎的研究を行った。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2016-04-01 - 2020-03-31

【配分額】8,060千円 (直接経費: 6,200千円、間接経費: 1,860千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】21540164 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析学 / 関数方程式 / 関数解析学 / 確率論 / 放物型方程式 / 熱核 / 積分表示 / 楕円型方程式 / グリーン関数 / 半小摂動 / マルチン境界 / 非負値解

【研究成果の概要】

リーマン多様体上の筒状領域での放物型偏微分方程式の非負値解の構造を研究し、一般的でほぼ最適な仮定[定数関数1が随伴楕円型作用素の半小摂動である]の下で任意の非負値解の具体的な積分表示を与えた。さらに、球対称リーマン多様体上の熱方程式を研究し、「定数関数1が付随する楕円型作用素の半小摂動である」ための幾何的な特徴付けと初期値問題の非負値解の一意性が成り立つための最適な十分条件を与えることにより、熱方程式の非負値解の構造を解明した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】21340032 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析学 / 関数解析学 / 発展方程式 / 非線形偏微分方程式 / 変分法 / 関数解析 / 非線形発展方程式 / 関数方程式 / 非線形現象

【研究成果の概要】

物理・工学に現れる様々な非線形偏微分方程式(非線形楕円型方程式,非線形拡散方程式,非線形波動方程式,非線形シュレディンガー方程式及びそれらが結合した方程式系)に対して非線形発展方程式論の立場から,非線形関数解析学,実函数論,常微分方程式論,変分法などの手法を用いて総合的な研究を行った.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009 - 2012

【配分額】17,290千円 (直接経費: 13,300千円、間接経費: 3,990千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】19340032 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析学 / 関数解析学 / 確率論 / 表現論 / 調和解析 / 表現の指標 / 対称群 / ヤンググラフ / 環積 / 無限対称群 / 漸近挙動 / 指標 / 量子確率論

【研究成果の概要】

巨大な群上での調和解析の展開に向けて、確率論と表現論の融合的な研究を推進した。調和解析とは、事物の対称性に着目することによって深い数学的構造を見出し、それに立脚した解析を行う学問分野である。本研究では、無限自由度をもつ大規模な対象を扱うため、その対称性を記述する群として巨大な群が現れる。得られた成果の中で最も主要なものは、(i)調和解析の素子となる指標と呼ばれる関数の分類と具体形を与える公式、および(ii)群の表現の漸近挙動と確率論の極限定理をつなぐ一連の結果である。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2007 - 2010

【配分額】14,040千円 (直接経費: 10,800千円、間接経費: 3,240千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】17740071 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

関数解析学 / 関数方程式論 / 解析学 / 解析評価 / 数理物理 / 変分法

【研究成果の概要】

(i)
次ページの論文[2][4]において,非一様媒質の光導波管を表す非線形シュレディンガー方程式の定在波解の安定性及び不安定性の考察をした.ここでいう安定性とは.定在波解に小さな摂動を加えて時間発展させても、やはり定在波解に近い状態であり続けるという意味であるが,定在波解の安定性が,非一様媒質の屈折率を表す関数の,遠方での減衰オーダーや.原点での特異性のオーダーに依存する事を明らかにした.
さらに,一様な媒質を考えた場合と比較すると,定在波解が不安定になりやすいということがわかった.非一様媒質における非線形シュレディンガー方程式の定在波解の安定性の研究は,1980年代後半にAkhmediev, Jones, Grillakis, Shatahand Straussらによって3層媒質という特別な場合について分岐理論を用いて調べられていたが,一般的な媒質の場合に分岐理論を適用しようとすると,考え得る非線形構造に制限がかかってしまう.そこで,より一般的な媒質に関して調査した.より一般的な媒質を考えることで,方程式の持つスケール不変性が崩れるため,定在波の振動数に関する漸近的な解析手段を応用し,問題解決を図った.
(ii)
非線形楕円型方程式の解について,複素数値関数の解の指数減衰とそのシャープな減衰オーダーについて考察した(論文[1][3]).
このような減衰オーダーは今までの手法では,常微分的な方法に頼っていたため取り扱う解が正値球対称であることが必要であった.しかし部分積分を基本にした非常に簡潔な証明によってより一般的な解についても適用できるよう拡張した.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2005

【配分額】1,400千円 (直接経費: 1,400千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】17340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

解析学 / 関数方程式論 / 解析・評価 / 関数解析学 / 確率論 / 放物型方程式 / 熱核 / 積分表示 / 楕円型方程式 / グリーン関数 / 半小摂動 / マルチン境界 / 非負値解 / 小摂動性 / 拡散過程 / 漸近解析 / 楕円形方程式 / 正値解 / 一意性

【研究成果の概要】

放物型偏微分方程式に対する初期値・境界値問題の非負値解の一意性定理を応用して、歪積型楕円型方程式のマルチン境界を決定する方法を与えた.また、リーマン多様体上の筒状領域での2階放物型偏微分方程式の非負値解の構造を精力的に研究し、熱核に対する一般的な仮定IU「intrinsic ultracontractivity]の下で任意の非負値解の具体的な積分表示を与えた.さらにIUから[定数関数1が随伴楕円型作用素の小摂動である]ことが従うことも示した.一方、土田哲生とともに周期係数楕円型作用素を研究し、グリーン関数の漸近形を与えるとともに極限吸収原理を示した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2008

【配分額】6,900千円 (直接経費: 6,000千円、間接経費: 900千円)