【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】15H05738 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

格子 / 保型形式 / モジュライ空間 / K3曲面 / エンリケス曲面 / カラビ・ヤウ多様体 / マシュー・ムーンシャイン / K3 曲面 / ジーゲルモジュラー形式 / 共形場理論 / 自己同型 / エントロピー / 傾理論 / モジュライ / 自己同型群 / moonshine / Borcherds 積 / Enriques 曲面 / 格子理論 / ムーンシャイン / モジュラー形式

【研究成果の概要】

多様体の対称性を広い観点から研究し、自己同型群が有限群となるエンリケス曲面の完全な分類、複素力学系と関連した多様体の自己同型の研究、球充填問題で有名なリーチ格子を用いたエンリケス曲面の研究を行い成果をあげた。また保型形式論を用いたモジュライ空間の研究を行い、特に重要な不変量である小平次元の決定を行った。近年提唱された新しいK3曲面のマシュー・ムーンシャイン理論における双対性を発見するなど、数理物理や表現論分野との境界領域でも成果を得ている。

【研究の社会的意義】

エンリケス曲面の研究で最も興味が持たれていた問題「有限自己同型群を持つ標数2のエンリケス曲面の分類」に決着をつけたことは、大きなインパクトを与えるものと考える。リーチ格子を用いたエンリケス曲面に関する成果は，これまでにない新しい視点を与えるもので学術的価値が高い。複素力学系的な自己同型の研究は力学系分野への波及効果が考えられる。モジュライ空間の小平次元の決定に関する成果は，Borcherds積を用いる点からも、学術的価値は高いと考える。マシュー・ムーンシャインとその拡張と見られるUmbralムーンシャインとの双対性を見出した点も新たな展開を生む可能性があり、波及効果は高いと考える。

【研究種目】基盤研究(S)

【研究期間】2015-05-29 - 2020-03-31

【配分額】88,920千円 (直接経費: 68,400千円、間接経費: 20,520千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】22340009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

双有理変換 / 双正則変換 / エントロピー / ダイナミカル次数 / 有理多様体 / カラビ・ヤウ多様体 / ICM招待講演 / K3曲面 / 単有理多様体 / 超ケーラー多様体 / 自己同型 / クレモナ変換 / 錐予想 / 導来圏 / 超単純多様体 / コホモロジカル関手

【研究成果の概要】

複素力学系及び双有理幾何学の融合により, 双方の未解決問題に貢献すること, 関係する新しい現象の発見が本研究の主目的である. 成果として, 正のエントロピーをもちかつ原始的正則自己同型を許容する3次元有理多様体, カラビ・ヤウ多様体の存在問題の肯定的解決, Wehler型と呼ばれる任意次元のカラビ・ヤウ多様体に対するKawamata-Morrison錐予想の完全解決, Ueno-Campaana問題の肯定的解決, Gizatullin問題の否定的解決, 正標数の代数幾何への複素力学系の応用などを得た. また, 成果が高く評価され, 2014年の国際数学者会議の招待講演者に選定された.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2010-04-01 - 2015-03-31

【配分額】12,480千円 (直接経費: 9,600千円、間接経費: 2,880千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】16540010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

超ケーラー多様体 / K3曲面 / 双有理型変換群 / サーレム多項式 / モーデル・ヴェイユ群 / エントロピー / 非可換自由群 / 準アーベル群 / 双有理変換群 / 有限可解群 / 6次交代群 / リーチ格子 / 自己双有理型変換群 / サーレム数

【研究成果の概要】

K3曲面及びその高次元版である超ケーラー多様体の双有理型変換群の群論的側面について,サーレム多項式を媒介した数論的考察や力学系からの視点を加味することで調べ,次の定理を得た:
定理1.非射影的超ケーラー多様体Mの双有理型変換群BivMは階数が高々max(1,P(M)-1)の準アーベル群である。より詳しく,NS(M)が放物型であれば階数が高々P(M)-1,楕円型であれば,有限群又は有限群をZで拡大した群である。
定理2.Mを射影的超ケーラー多様体,GをMの双有理変換群BivMの部分群とする.このとき,Gは次のいずれかをみたす:
(i)Gは階数が高々max(1,P(M)-2)の準アーベル群(ii)G>Z*Z
定理3.Gのすべての元のエントロピーが0ならば,Gは準アーベル群である.
定理4.MがMordell-Weil群の階数が正であるような2つのJacobian fibrationsをもては,G>Z*Zである。P(5)=20のK3曲面S及びそのHilbert scheme S^<(n)>はこの条件をみたす.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2004 - 2005

【配分額】3,200千円 (直接経費: 3,200千円)