【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】15H05738 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

格子 / 保型形式 / モジュライ空間 / K3曲面 / エンリケス曲面 / カラビ・ヤウ多様体 / マシュー・ムーンシャイン / K3 曲面 / ジーゲルモジュラー形式 / 共形場理論 / 自己同型 / エントロピー / 傾理論 / モジュライ / 自己同型群 / moonshine / Borcherds 積 / Enriques 曲面 / 格子理論 / ムーンシャイン / モジュラー形式

【研究成果の概要】

多様体の対称性を広い観点から研究し、自己同型群が有限群となるエンリケス曲面の完全な分類、複素力学系と関連した多様体の自己同型の研究、球充填問題で有名なリーチ格子を用いたエンリケス曲面の研究を行い成果をあげた。また保型形式論を用いたモジュライ空間の研究を行い、特に重要な不変量である小平次元の決定を行った。近年提唱された新しいK3曲面のマシュー・ムーンシャイン理論における双対性を発見するなど、数理物理や表現論分野との境界領域でも成果を得ている。

【研究の社会的意義】

エンリケス曲面の研究で最も興味が持たれていた問題「有限自己同型群を持つ標数2のエンリケス曲面の分類」に決着をつけたことは、大きなインパクトを与えるものと考える。リーチ格子を用いたエンリケス曲面に関する成果は，これまでにない新しい視点を与えるもので学術的価値が高い。複素力学系的な自己同型の研究は力学系分野への波及効果が考えられる。モジュライ空間の小平次元の決定に関する成果は，Borcherds積を用いる点からも、学術的価値は高いと考える。マシュー・ムーンシャインとその拡張と見られるUmbralムーンシャインとの双対性を見出した点も新たな展開を生む可能性があり、波及効果は高いと考える。

【研究種目】基盤研究(S)

【研究期間】2015-05-29 - 2020-03-31

【配分額】88,920千円 (直接経費: 68,400千円、間接経費: 20,520千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】15H03611 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

原始的自己同型 / 力学次数 / エントロピー / エンリケス曲面 / 離散的自己同型群の有限生成性 / 複素代数多様体の実形式 / 代数多様体の自己同型群 / ワイルドな自己同型 / 代数多様体 / 自己射 / 自己同型群 / 非有限生成性 / 台数多様体 / 双有理自己射 / ダイナミカル次数 / 双有理変換 / カラビ・ヤウ多様体 / 有理多様体 / 自己同型 / 原始的自己写像 / 代数多様体の自己射 / 超ケーラー多様体 / 単有理多様体 / 双有理変換群 / 複素力学系

【研究成果の概要】

第1力学次数が1より大きい原始的双有理自己同型を有する任意次元（>1）の有理多様体、 カラビ・ヤウ多様体、アーベル多様体の存在、エントロピーが正の原始的正則自己同型を有する任意偶数次元の有理多様体、 カラビ・ヤウ多様体の存在を示した。Xun Yu准教授と共同で、複素Enriques曲面の自己同型の正エントロピーの最小値を決定した。これらは当該研究課題の主要部にほぼ完全な解答を与える。更に、Tien-Cuong Dinh教授との共同研究で、全自己同型群が群として離散的だが有限生成ではなく、更に実形式を同型を除き無限個もつ滑らかな射影代数多様体の存在を、2以上の任意次元において示した。

【研究の社会的意義】

当該研究課題の主要部は申請者のICM招待講演において提示した問題の研究であり、十分な成果を得た。まず、高次元代数多様体の力学系理論は低次元理論には帰着できないことを示す定理を確立し、理論の豊かさを示した。Xun Yu氏との共同研究は、フィールズ賞受賞者McMullen氏の結果と合わせることで、複素代数曲面の小平分類の各クラスにおいて正エントロピー値をすべて明らかにする最終的結果である。また、その後、Lesieutre氏の結果に刺激されて行ったDinh氏との共同研究は、当該分野の大家であるDolgachev教授から、長年の未解決問題に対する決定的結果であり、誇ってよい結果であると称賛された。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2015-04-01 - 2020-03-31

【配分額】15,990千円 (直接経費: 12,300千円、間接経費: 3,690千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】22340009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

双有理変換 / 双正則変換 / エントロピー / ダイナミカル次数 / 有理多様体 / カラビ・ヤウ多様体 / ICM招待講演 / K3曲面 / 単有理多様体 / 超ケーラー多様体 / 自己同型 / クレモナ変換 / 錐予想 / 導来圏 / 超単純多様体 / コホモロジカル関手

【研究成果の概要】

複素力学系及び双有理幾何学の融合により, 双方の未解決問題に貢献すること, 関係する新しい現象の発見が本研究の主目的である. 成果として, 正のエントロピーをもちかつ原始的正則自己同型を許容する3次元有理多様体, カラビ・ヤウ多様体の存在問題の肯定的解決, Wehler型と呼ばれる任意次元のカラビ・ヤウ多様体に対するKawamata-Morrison錐予想の完全解決, Ueno-Campaana問題の肯定的解決, Gizatullin問題の否定的解決, 正標数の代数幾何への複素力学系の応用などを得た. また, 成果が高く評価され, 2014年の国際数学者会議の招待講演者に選定された.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2010-04-01 - 2015-03-31

【配分額】12,480千円 (直接経費: 9,600千円、間接経費: 2,880千円)