【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】15H03611 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

原始的自己同型 / 力学次数 / エントロピー / エンリケス曲面 / 離散的自己同型群の有限生成性 / 複素代数多様体の実形式 / 代数多様体の自己同型群 / ワイルドな自己同型 / 代数多様体 / 自己射 / 自己同型群 / 非有限生成性 / 台数多様体 / 双有理自己射 / ダイナミカル次数 / 双有理変換 / カラビ・ヤウ多様体 / 有理多様体 / 自己同型 / 原始的自己写像 / 代数多様体の自己射 / 超ケーラー多様体 / 単有理多様体 / 双有理変換群 / 複素力学系

【研究成果の概要】

第1力学次数が1より大きい原始的双有理自己同型を有する任意次元（>1）の有理多様体、 カラビ・ヤウ多様体、アーベル多様体の存在、エントロピーが正の原始的正則自己同型を有する任意偶数次元の有理多様体、 カラビ・ヤウ多様体の存在を示した。Xun Yu准教授と共同で、複素Enriques曲面の自己同型の正エントロピーの最小値を決定した。これらは当該研究課題の主要部にほぼ完全な解答を与える。更に、Tien-Cuong Dinh教授との共同研究で、全自己同型群が群として離散的だが有限生成ではなく、更に実形式を同型を除き無限個もつ滑らかな射影代数多様体の存在を、2以上の任意次元において示した。

【研究の社会的意義】

当該研究課題の主要部は申請者のICM招待講演において提示した問題の研究であり、十分な成果を得た。まず、高次元代数多様体の力学系理論は低次元理論には帰着できないことを示す定理を確立し、理論の豊かさを示した。Xun Yu氏との共同研究は、フィールズ賞受賞者McMullen氏の結果と合わせることで、複素代数曲面の小平分類の各クラスにおいて正エントロピー値をすべて明らかにする最終的結果である。また、その後、Lesieutre氏の結果に刺激されて行ったDinh氏との共同研究は、当該分野の大家であるDolgachev教授から、長年の未解決問題に対する決定的結果であり、誇ってよい結果であると称賛された。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2015-04-01 - 2020-03-31

【配分額】15,990千円 (直接経費: 12,300千円、間接経費: 3,690千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】22340009 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

双有理変換 / 双正則変換 / エントロピー / ダイナミカル次数 / 有理多様体 / カラビ・ヤウ多様体 / ICM招待講演 / K3曲面 / 単有理多様体 / 超ケーラー多様体 / 自己同型 / クレモナ変換 / 錐予想 / 導来圏 / 超単純多様体 / コホモロジカル関手

【研究成果の概要】

複素力学系及び双有理幾何学の融合により, 双方の未解決問題に貢献すること, 関係する新しい現象の発見が本研究の主目的である. 成果として, 正のエントロピーをもちかつ原始的正則自己同型を許容する3次元有理多様体, カラビ・ヤウ多様体の存在問題の肯定的解決, Wehler型と呼ばれる任意次元のカラビ・ヤウ多様体に対するKawamata-Morrison錐予想の完全解決, Ueno-Campaana問題の肯定的解決, Gizatullin問題の否定的解決, 正標数の代数幾何への複素力学系の応用などを得た. また, 成果が高く評価され, 2014年の国際数学者会議の招待講演者に選定された.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2010-04-01 - 2015-03-31

【配分額】12,480千円 (直接経費: 9,600千円、間接経費: 2,880千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】18540016 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

超ケーラー多様体 / 双有理変換群 / モーデル・ヴェイユ群 / ラグランジアンファイバー空間 / カラビ・ヤウ多様体 / エントロピー / 一般化されたカラビ・ヤウ多様体 / 超ケーラー多様 / 代数次元 / コンパクト超ケーラー多様体 / モーデル・ウェイユ群 / 塩田・テイトの階数公式 / ファイバー空間 / 非可換自由群 / 自己同型群 / カラビ-ヤウ多様体

【研究成果の概要】

研究成果の概要 : 複素解析曲面と超ケーラー多様体に見られる著しい類似性に着目することにより、ケーラー多様体の双有理型変換群の粗分類定理(Tits型定理)を確立した。また、分類に現れる非可換自由群および最大階数のアーベル群のラグランジアンファイブレーションを用いた構成法を確立した。また、自己同型の複素力学的意味, ラグランジアンファイブレーションの一般特異ファイバーの分類, 超ケーラー多様体の代数次元、特に4次元の場合の完全な記述を与えた。以上の研究に加えて、滑らかな小変形を有せず、互いに双有理であるが射影平坦変形でつながりしかも同相ではない3次元多様体カラビ・ヤウ多様体の存在を発見した。以上の研究が評価され日本数学会代数学賞を受賞した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】3,220千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 420千円)

【研究分野】代数学

【研究領域課題番号】16540010 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

超ケーラー多様体 / K3曲面 / 双有理型変換群 / サーレム多項式 / モーデル・ヴェイユ群 / エントロピー / 非可換自由群 / 準アーベル群 / 双有理変換群 / 有限可解群 / 6次交代群 / リーチ格子 / 自己双有理型変換群 / サーレム数

【研究成果の概要】

K3曲面及びその高次元版である超ケーラー多様体の双有理型変換群の群論的側面について,サーレム多項式を媒介した数論的考察や力学系からの視点を加味することで調べ,次の定理を得た:
定理1.非射影的超ケーラー多様体Mの双有理型変換群BivMは階数が高々max(1,P(M)-1)の準アーベル群である。より詳しく,NS(M)が放物型であれば階数が高々P(M)-1,楕円型であれば,有限群又は有限群をZで拡大した群である。
定理2.Mを射影的超ケーラー多様体,GをMの双有理変換群BivMの部分群とする.このとき,Gは次のいずれかをみたす:
(i)Gは階数が高々max(1,P(M)-2)の準アーベル群(ii)G>Z*Z
定理3.Gのすべての元のエントロピーが0ならば,Gは準アーベル群である.
定理4.MがMordell-Weil群の階数が正であるような2つのJacobian fibrationsをもては,G>Z*Zである。P(5)=20のK3曲面S及びそのHilbert scheme S^<(n)>はこの条件をみたす.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2004 - 2005

【配分額】3,200千円 (直接経費: 3,200千円)