【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】13440052 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

相転移現象 / 力学系の安定性 / ステファン問題 / 大域的アトラクター / 劣微分作用素 / 非線形発展方程式 / 非 / -* / 線形発展方程式 / 相転移 / アトラクター / 自由境界問題 / 結晶成長過程 / 安定性

【研究成果の概要】

本研究計画の課題は
(1)相転移現象のモデル化と数学理論の開発
(2)関連の最適制御問題の設定と数値シミュレーション
(3)研究成果の学校教育への還元
の3つであった。課題(1)では、熱力学の基本法則を基盤にして、相転移を伴う物質の数学的表現を通し、時間の発展と共に物質の構造(相変化、成分分離、破壊、原子の秩序)がどのように変化するかを力学系理論の立場から考察した。特に、研究計画後半の2年間、破壊のプロセスを念頭に置いた不可逆相転移現象のモデルのクラスを提案し、その数学理論の開発を行った。15年間構築されてきた、劣微分作用素論とうまく融合したことにより、予想以上の成果が得られた。課題(2)についても、ヒステリシス関数を制御パラメータとする最適制御問題の理論的研究はほぼ目的を達成し、部分的な数値シミュレーションを実行した。計算アルゴリズムについてはまだまだ改良の余地が多く残されている。上記の2課題(1)、(2)について、多くの学術論文が本研究計画の成果として発表された。また、この研究計画期間中に、国際研究集会を2度主催し、国際的レベルでの活動を積極的に行った。
課題(3)については、本研究計画で主催した研究集会「相転移現象の数学と関連した数学教育」において多くの実践研究の成果が報告された。その内容は、時間と共に刻々と変化する(身の回りの)現象に着目し、その力学系の学校教育教材としての付加価値を検証し、実践を行った報告である。これらの教材開発研究は生きた「数学」の学習を体感させるための新教材として発展する可能性が期待され、今後の研究の新展開が大いに注目されている。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2001 - 2004

【配分額】11,500千円 (直接経費: 11,500千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】11640197 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

相転移 / 劣微分作用素 / 相分離 / ステファン問題 / 自由境界問題 / アトラクター / 非線形発展方程式 / 安定性

【研究成果の概要】

本プロジェクトでは、線形・非線形作用素論から反応拡散系方程式、波動方程式、シュレディンガー方程式、相転移モデルやそれに関連する数値解析に至るまで実に多様な研究成果が得られた。特に、学際的見地に立った極めてレベルの高い研究が発表されている。例えば下記のような研究結果が上げられる。
●環境問題に関連して、広島湾における赤潮の発生メカニズムに関する数学的解析と数値シミレーションを行った。これは非線形発展方程式理論の立場から環境問題の解決に積極的に寄与しようとする試みである。また、火山の噴火に伴う溶岩流の凝固現象を非柱状領域のステファン問題として捉え劣微分作用素論の立場からモデリングをした。
●メゾスコピックスケールでの液体・固体相転移現象のモデルとして得られた非線形放物型方程式系の安定性理論を展開した。こめ理論では、全く新しい「(空間的)局所安定性」の概念が導入され、定常解の安定性の特徴づけがこの概念で行われている。この概念は、物理的には相(液相・固相)の消滅や成長のメカニズムを説明するもので極めて重要である。
●様々な非線形現象を力学系として捉えたとき、時刻と共に現象がどのように進んでいくか、或はどのような挙動に近づいているか等を数学的に評価する手段として大域的アトラクターの概念がある。多くの非線形現象モデルに対応する十分一般的力学系に対しその大域的アトラクターの構成法を確立した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1999 - 2000

【配分額】3,600千円 (直接経費: 3,600千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09874037 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

vortex filament / Cahn-Hilliard oquaton / Free boundary problem / Stefan problem / Highen integrability / difference differentical egstem / generalized Bessel function / Navier-Stokes方程式 / Euler方程式 / 自由境界問題 / Stefan問題 / 渦系方程式 / 相転位 / 合流型超幾何関数

【研究成果の概要】

流体現象を中心とした非線形現象に現れる種々の非線形偏微分方程式の可解性及び解の定性的性質を調べてきた.1998年度の研究成果は以下の通りである.
渦糸方程式に関しては,軸流を伴う場合も伴わない場合も,その初期値問題及び周期境界条件を課した初期-境界値問題の時間大域解の一意存在が証明できた(Publ.RIMS Kyoto Univ.に掲載).二相問題と自由境界問題が物理学上も数学上も興味ある今後の重要な問題であるが,それに関しては次の結果が得られた.
(1) 圧縮性Euler方程式(渦あり)の二次元亭状領域での一相自由境界問題(深さが無限の時)の時間局所解の一意存在が証明できた(Adv.Math.Sci.Appl.に掲載予定).
(2) (1)と同じ問題が有限の深さの場合にも自由表面上で表面張力が作用する,しないに拘らず唯一つの時間局所解を持つこと及び表面張力係数が0に収束する時対応する解も収束することが証明できた.これらの結果は現在投稿準備中である.
(3) Boussinesq近似をした非圧縮性Navier-Stokes方程式に対する一相Stefan問題の古典解の存在が証明できた(SIAM J.Math.Anal.に掲載予定).
Steran問題とも関連するが,相転位を記述するモデル方程式であるChan-Hilliard方程式の特徴は空間4階微分を含むことにあり,そのためその数値解析はまだ十分にはなされていない.離散格子上でいくつかのパターンについて調べた結果が情報処理学会論文誌に掲載された.
相転位現象は自由エネルギーの形により考える方程式は変わってくるが,いずれにしてもエネルギー最小化関数の等高線集合を用いて議論が重要である.その基礎理論を構築する一環として,楕円-放物型差分微分方程式の解の正則性を変分法を用いて調べた(Z.Angew.Math.Phys.に掲載).さらに詳しい解の性質を調べるには何らかの仮定のもとで常微分方程式に帰着するのが常套手段である.その基礎理論として,2変数Bessel関数の満たす偏微分方程式系の不確定型特異集合のまわりで解の漸近挙動を調べた(Tohoku Math.J.に掲載).

【研究種目】萌芽的研究

【研究期間】1998

【配分額】1,600千円 (直接経費: 1,600千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09640154 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

相転移 / 劣微分作用素 / 発展方程式 / ステファン問題 / 自由境界 / 凸関数 / オブスタクル問題 / 変分不等式 / 非線形発展方程式 / 自由境界問題

【研究成果の概要】

本研究は、相転移を伴う非線形現象について、モデリング、理論解析、数値シミレーションを行う学際的かつ総合研究である。平成9年度及び10年度の研究成果は次のとおりである。
1. 液体・固体、固体・固体相転移のモデルを再検討し、現象論的な立場から、従来のものよりもより現実的なモデル(モデルA)を提案した。その記述に非線形解析学の劣微分作用素を有効に使い、非線形放物型偏微分方程式系としてモデル化することに成功した。更に、ヒステリシス効果を考慮した新しいモデル(モデルB)は時間依存の2重オブスタクル問題に帰着出来るこたが示された。
2. 上記の新しいモデルAについて、理論解析を行い、解の大域的存在、一意性の証明に成功した。モデルの理論解析のために新しい数学的テクニックが開発されたが、その中でも、30年間未解決のままであった非線形楕円型作用素の問題を解いた事は大きな碩究成果といえる。モデルBについては、解の一意性証明はまだ未解決のままである。
3. 数学的道具の開発のために、ヒルベルト空間における凸関数の劣微分作用素が生成する十分に一般的なクラスの力学系の枠組みで、大域的アトラクターの理論を展開し、漸近安定性を論じた。
4. 上述の問題に関連し、数値実験を試みた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1998

【配分額】3,000千円 (直接経費: 3,000千円)