【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】20340034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

スケーリング / 双対変分構造 / 爆発 / 凝縮 / 量子化 / 点渦乱流 / 走化性 / 熱弾性 / 記憶形状物質 / 競合的走化性 / Lotka-Volterra系 / 点渦乱流平均場 / Gel’fand 方程式 / 退化放物型方程式 / Smoluchowski-Poisson方程式 / 量子化爆発機構 / 解の爆発 / 点渦乱流平均場方程式 / 漸近的非退化性 / 粘弾性記憶形状合金 / 圧縮性流体 / Hadamard変分 / 非線形現象 / 変分構造 / 自己組織化 / 特異性 / 非線形スペクトル力学 / 臨界指数 / タイプIIの爆発レート / 粘弾性熱方程式 / 腫瘍形成 / 質量量子化 / 循環的階層 / 双対変分原理 / 臨界ソボレフ指数 / コラプスの衝突 / サブコラプスの生成 / 量子化する爆発機構

【研究成果の概要】

多数の粒子や渦点などの平均場運動を記述する数理モデルには, 対象や階層を越えた共通の数学構造が存在する. 本研究課題では, スケーリングについて不変な性質をもち, 場と見なされる変数を介在した相互作用が変分構造で規定されている一連の非線形偏微分方程式群に着目した. 凝縮や平均化など, モデルが記述する現象を厳密に証明し, 同時に多種間の相互作用や, 強い非線形化での大域的力学系を解明する新しい数学的方法を開拓した

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2008 - 2012

【配分額】13,390千円 (直接経費: 10,300千円、間接経費: 3,090千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】15654022 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

血管新生 / 脈管形成 / 固形腫瘍 / 崩壊(collapse) / 走化性 / 平行最適化 / 自己組織化 / 非平衡散逸系 / 血管新生方程式 / 固形腫瘍成長方程式 / 隆起(aggregation) / 走化性(chemotaxis) / 接触性(chaptotaxis) / 進行波 / Lyapunov関数 / 腫瘍形成 / 送化性 / 化学的勾配 / 非線形波動方程式 / 無限次元力学系 / reinforced random walk / 爆発機構の量子化

【研究成果の概要】

輸送現象に関して、質量保存と自由エネルギー減衰を実現する数値スキームを開発し、数値解析によってその正当性を数学的に確立した。これに基づいて血管新生に関するRascle方程式の数値シミュレーションを行い、解の集中や減衰する進行波が現れることを発見し、これらを視覚化することに成功した。次に脈管形成に関するOthmer-Stevens方程式について数学解析を行い、空間1次元で解が常に時間大域的に存在すること、原論文で提起されていた問題であるcollapseの形成が空間多次元で起こりうることを証明した。3種の連立系であるAnderson-Chaplain方程式も取り上げ、ヘルダー空間の中で基本定理を確立するとともに、近平衡でLyapunov関数が存在することを見出した。この点に関連して高分子科学の研究者と研究討論を行い、Prigogineの非平衡散逸系での自己組織化を数学的に確立する原理として、進行波とLyapunov関数が混在することがキーポイントであることが明確となり、今後の研究の基本的な指針が得られた。最後に固形腫瘍の数理モデルをとりあげ、強最大原理を用いて解の基本定理を確立するアイデアを得た。計測医療に関わる数値解法アルゴリズムでは、引き続き平行最適化によるプログラミングと数値実験を行い、特に逆源探索問題において逆源の数を時系列データや先験的情報なしに、正確に決める点で強力な汎用性があることを明らかにした。これらの成果は日本応用数理学会年会での数理医学研究部会オーガナイズドセッション、研究部会連合発表会、また藤田保健衛生大学での医学数学シンポジウム等により報告し、関連する研究者と研究討論を行った。また生体間で生命のとる戦略の数理的な意味付けを図るため、ゲーム理論を適用する研究の調査を行い、樹木成長に関する数理モデルの開発と解析、数値シミュレーションを行うための準備的な研究を行った。

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】2,900千円 (直接経費: 2,900千円)