【研究分野】数学基礎・応用数学

【研究領域課題番号】15H03635 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

不連続Galerkin法 / 有限要素法 / 楕円型方程式 / 放物型方程式 / 非線形問題 / 誤差解析 / 構造保存型数値解法 / 発展方程式 / 数値解析 / 有限体積法 / 不連続ガレルキン法 / 楕円型界面問題

【研究成果の概要】

有限要素法（FEM）と有限体積法(FVM)の長所を両立した高精度拡張版である不連続Galerkin法（DG 法）およびハイブリッド型のDG法（HDG法）に対して，その数学的基盤理論を確立した．特に，理論だけ作って応用は計算現場に任せる，という消極的な立場を超えるため，具体的な応用を設定した上で，要請される基礎理論の構築を行ったことが本研究の特徴である．具体的にはFEMやFVMでは困難の多い，異方拡散問題や数理生物に現れる非線形移流拡散，退化拡散問題，時間非定常問題に対して，構造保存（流束，正値性，エネルギーなど）と解析理論（実用的な意味での安定性と収束性など）を両立した計算手法を構築した．

【研究の社会的意義】

偏微分方程式の数値計算に基づくシミュレーションは，現代における最も強力な科学技術の一つであり，数学的な立場からの数値計算方法の研究（数値解析）は，これらの科学技術の屋台骨を支える基盤と言える．しかし，数学者と技術者では，研究の方向性が異なり，実際，経験に大きく依存した大規模計算によるスピード感ある研究に，数値解析の理論が追い付けてなかった．しかし，この溝を放置すれば，数学的方法における数学の不在に繋がり，発展は頭打ちとなるであろう．本研究は，数学理論のこの溝を埋めつつ，数値解析自体の更なる深化を実現した．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2015-04-01 - 2019-03-31

【配分額】16,770千円 (直接経費: 12,900千円、間接経費: 3,870千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】24224004 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

関数方程式 / 流体数学 / 確率解析 / 大域解析学 / 数値解析 / R-有界性 / 安定性解析 / スペースタイムアイソギオメトリック法 / 有限要素法

【研究成果の概要】

マクロレベルの流体数学研究ではストークス方程式のR有界性に基づく理論により粘性流体の自由境界問題の解の時間局所一意存在を一般領域で示した。またストークス作用素のスペクトル解析に基づく理論によりナヴィエ・ストークス方程式の一相自由境界問題の時間大域解の一意存在と漸近挙動を有界及び非有界領域で示した．メゾレベルでの流体数学研究では気泡振動を支配する確率微分方程式を導出し，その時間大域解の存在と漸近挙動を示し数値解析を行った．また変分原理による定式化に向けてディラック簡約の理論を開発しリヴリン・エリクッセン流体に応用した．更にラグランジュ・ガラーキン法を開発し気泡上昇問題の数値解析を行った．

【研究種目】基盤研究(S)

【研究期間】2012-05-31 - 2017-03-31

【配分額】86,450千円 (直接経費: 66,500千円、間接経費: 19,950千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】23340023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 数理モデル / 有限体積法 / 有限要素法 / 差分法 / 応用数学 / シミュレーション工学 / シミュレーション科学

【研究成果の概要】

本研究プロジェクトでは，構造保存型の数値解法として理工学各分野で広く応用されている有限体積法に対する数学的な基盤理論の開発とその現実問題への応用を行なった。基礎的な面では、離散ソボレフの不等式、補間誤差不等式の最良定数、離散Rellichの定理、離散最大値の定理、離散微分形式などについて応用指向の進んだ結果を得ることができた。応用面では、細胞性粘菌の数理モデルに対して、構造保存型の有限体積法を開発し、いままで未解決だった離散エネルギー不等式の証明に成功した。また、離散微分形式の応用としてLagrange力学に基づくエネルギー保存型数値解法の有限体積法への拡張を行なった。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2011-04-01 - 2015-03-31

【配分額】14,560千円 (直接経費: 11,200千円、間接経費: 3,360千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】21740064 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

応用数学 / 数値解析 / 有限要素法 / 流体 / 流体力学 / 数値流体

【研究成果の概要】

本研究では,非圧縮性粘性流体の二相問題に対するフェーズフィールドモデルを対象に,有限要素法による数値計算手法の開発と妥当性・正当性の解析を行った.特に,数学的枠組み(数値解析向けの定式化)の研究,および数値実験による発見的考察と結果の検証に最も力を入れた.結果的に,多相流体現象とその数学理論およびその数値計算手法に,今までになかった視点からの新しい寄与をなした.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2009 - 2010

【配分額】4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】20224001 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 精度保証付き数値計算法 / 解の数値的検証 / 解の事後誤差評価 / 計算機援用証明 / 非線形現象 / 有限要素法

【研究成果の概要】

非線形偏微分方程式に対する解の数値的検証法の開発とその適用を中心として研究を進め、特に、これまでほとんど研究例を見ない非線形発展方程式に対し、十分有効な数値的検証原理を見出すことに成功した。また、従来から蓄積してきた楕円型方程式の解に対する解の検証方式に新たな知見を加え、その拡張・改良を行うとともに、流体方程式をはじめ理論解析が困難な実際問題に適用して数値的証明を行い、その有効性を実証した。

【研究種目】基盤研究(S)

【研究期間】2008 - 2011

【配分額】84,890千円 (直接経費: 65,300千円、間接経費: 19,590千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】19540115 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

応用数学 / 解析学 / 数値解析 / 誤差解析 / 有限要素法 / 不連続ガレルキン法 / 事後誤差評価 / ハイブリッド変位法

【研究成果の概要】

有限要素法に密接に関連する数値計算法として近年注目されている不連続ガレルキン法について,その理論的解析や新しい手法の開発と改良,具体的問題への適用などの研究をし,成果を得た.また,その事後誤差解析に関して,必要とされる誤差定数を何個か明らかにし,その一部について具体的な値や上界を求めた.数値例による検証も実施し,理論結果の妥当性や新たな課題の発見,本手法の可能性などに関する知見を得た.特に,不連続ガレルキン法は,近似関数や要素形状の選択に関して自由度が高く,その点で従来の有限要素法を改良できる可能性があることなども判明した.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2007 - 2009

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】電力工学・電気機器工学

【研究領域課題番号】19360126 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

超電導 / 電力工学 / 電磁現象 / シミュレーション / 限流器 / 有限要素法 / シミュレーション工学 / イットリウム系 / SN転移 / 電力システム / 抵抗型限流素子 / 超電導薄膜 / 数値解析

【研究成果の概要】

電力系統に短絡事故等が発生したときに流れる過大な電流を瞬時に抑制する装置である限流器として,高温超電導薄膜を用いて,超電導から常電導への転移にともなう電気抵抗発生を利用した抵抗型の限流器の研究を行った。電磁界・熱伝導場・電気回路の連成現象解析用数値解析ツールを開発し,超電導薄膜と金属保護膜のパターニングや厚さ等,および超電導特性の不均一性が限流特性に与える影響について明らかにした。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2007 - 2008

【配分額】18,590千円 (直接経費: 14,300千円、間接経費: 4,290千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】10440025 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

複雑系 / 数値解析 / 生態系 / 多相流 / 自由境界問題 / 数理モデル / 領域分割法 / 最適化アルゴリズム / 油濁 / 沿岸生態系 / 大規模連立一次方程式 / 反復解法 / 有限要素法 / Navier-Stokes方程式 / ニューラルネットワーク / 最適化 / 複雑形状 / 数学的モデル / 非線形偏微分方程式

【研究成果の概要】

複雑系を研究対象とする本研究の成果は、以下の4つに大別される。
(1)沿岸油濁の生態系に及ぼす影響。(2)大域最適化問題に対するハイブリッドアルゴリズムの開発とその応用。(3)(1)で提案された数理モデルから派生した数学的諸問題に対する、理論的・数値的研究及び数理モデルを記述する、偏微分方程式系の解法アルゴリズムの提案。(4)上記(1)(2)(3)の研究を強力に推進するにあたり、基盤となった国際会議・二国間セミナー等の開催。
上記(1)(2)(4)の研究の概略
(1)日本海沿岸におけるナホトカ号の油流出事故に見られるように、沿岸海域における油濁は、海域中に生息する様々な生物に大きな影響を与えるのみならず、その生態系の構造、機能にも大きな影響を与え、更に物質循環などを滞らせる。これらの現象を解明する手段として、流体力学に基づく数理モデルの構築、数値シミュレーションとその可視化を行った。ここで得られた結果は、流体実験手法に基づく結果と良い整合を示し、沿岸生態系に対する油濁負荷を軽減する技術開発に対して、数理的見地からの提言を意味している。
(2)本研究で開発されたアルゴリズムの基本原理は、複雑系の或るダイナミカルな運動パターンを模して構成されている。
(4)当該科学研究費の援助によって開催した(1)国際会議として「第12回領域分割法に関する国際会議」(1999年10月25日〜10月29日,於:千葉大学)がある。領域分割法は、複雑系を理解する上で、非常に有効であると同時に手法に内包される数学解析は、偏微分方程式の研究分野の拡大を促進している。また、(2)二国間交流セミナーとしては、「Active Controlに関する日仏セミナー」(1998年10月7日〜10月9日,於:東京)と、「数値数学に関する日中セミナー」(1998年8月24日〜8月28日,於:千葉大学)がある。参加者と講演名は本報告書内に付記されている。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】6,400千円 (直接経費: 6,400千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】07640173 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

微分方程式 / 離散化 / 数値解析 / 誤差解析 / 有限要素法 / 数値実験

【研究成果の概要】

本研究では、微分方程式の数学的研究を基礎とする数値計算法の開発、解析、実証、さらには数値シミュレーションによる微分方程式の解の性質の解明などへのフィードバック等を目的とする。特に固体力学(なかでも平板の面内伸および面外曲げ問題)、流体力学、電磁場問題など、工学、産業からの要求の高い分野での数値計算法の開発、検証を目指し、工学者の対応のみでは限界に達している分野に何らかの解決の糸口を見つけけることを目指した。
本年度の研究では、等に工学などで広く用いられている有限要素法等を、偏微分方程式の数値解析手法としてとらえ、計算法の考案、有限要素モデルの開発、改良と評価、数学的な誤差解析などを実施した。
まず、有限要素法モデルの開発と改良の研究を実施した。特にセレンディピティ要素の改良と誤差評価、板曲げ用の有限要素の開発と数値実験などに力点を置いた。前者については、8節点2次セレンディピティ要素の改良法を考案し、研究しさらにその誤差評価を実施し改良が実際に有効なことを確認している。後者については、各種の要素の開発と検証を実施している。とくに、混合法において時に生じる数値的不安定性を解消するため一種の安定化法を考案し、四辺形要素を開発した。得られた要素の一部は形状最適化プログラムOPTISHAPEのプログラムライブラリーに組み込まれ、一般ユーザーが利用できるようになっている。また、開発にあたっては、数値解析装置の備品を有効に活用した。
そのほか,従来からの研究課題である静磁場問題の解析法の研究を継続している。また分担者と協力して、有限要素法の数学的定式化と誤差評価などの数学的基礎の研究をすすめ、とくにLarangeの未定乗数法に基づく有限要素法である混合型有限要素法の各種の応用などを目指している。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1995

【配分額】2,200千円 (直接経費: 2,200千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】04640130 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

スペクトル / 散乱理論 / 波動作用素 / 準古典近似 / ソリトン / 有限要素法 / 数値解析 / 量子群

【研究成果の概要】

科学研究費補助金(一般研究C)「スペクトル・散乱理論の研究」によって得られた成果を箇条書きにする。
1.多体Schroedinger作用素の散乱問題において波動作用素の完全性に関して北田均等によって短距離系に対する波動作用素の完全性の新たな証明が得られ,遠距離系に対する完全性の証明にも重要な進展があった。
2.Schroedinger作用素の散乱・resonanceの問題に関して,resonanceのおよびtime-delayの準古典近似の問題が中村周等によって研究され準古典領域におけるresolvent等の振る舞い明確にされた
3.Schroedinger作用素の波動作用素あるいはSchroedinger作用素の関数のSobolev空間あるいはBesov空間における写像としての性質が中村周,谷島賢二等によって研究され,種々の空間の間の有界性等多くの性質が明らかになった。これらの研究は非線形微分方程式のこれからの研究に大いに役立つものと期待される。
4.スペクトルの逆問題に関連した研究が薩摩順吉等によって進められ,soliton方程式,非線形波動方程式のの解の構造,あるいは完全積分系に関する多くの新たな知見が得られた。
5.スペクトルの数値解析に関連して有限要素法の数値解析の研究が菊地文雄,金子晃等によって進められ,多くの新たな知見が得られた。
6.その他,分担者たちは多くの関連した研究を進展させた。主なものは野海正俊による量子群の研究,小林俊行による非可換調和解析の研究,山崎満によるBoltzmann方程式の研究,木村弘信による超幾何関数の研究及び太田啓史・古田幹雄による多様体の微分構造の研究等である。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1992

【配分額】2,000千円 (直接経費: 2,000千円)

【研究分野】流体工学

【研究領域課題番号】04452139 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

乱流数値解析 / ラージ・エディ・シミュレーション / サブグリッドモデル / 一般座標系 / 有限要素法 / 速度境界条件 / 平面乱流噴流 / バックステップ流れ / Dynamic SGSモデル / 流出速度境界条件 / 流れの画像表示 / 数値解析 / 数値流体力学 / 乱流 / ラージエディシミュレーション / 乱流モデル / 境界適合座標 / 境界条件 / 剥離

【研究成果の概要】

ラージ・エディ・シミュレーション(LES)は、これまで主に乱流構造の基礎研究のための数値解析法として比較的単純な流れ場に適用されてきた。しかし、計算機ハードウェア性能の向上によって、これまで以上に詳細な解析が可能となったため、乱流の基礎研究においてはLESにかわって近似モデルを用いない直接シミュレーション(DS)が試みられつつあり、LESに対してはDSを適用できない複雑な流れ場の解析手段としての有用性が注目される。そこで、本研究ではLESを工学における複雑な乱流場に適用する際の課題について検討して基礎的な数値検証を行うとともに、比較的複雑な流れ場へLESを適用して工学的有用性を検証した。基礎的課題としては、LESで用いられる空間フィルタおよびサブグリッド(SGS)モデルの検討、特に複雑な乱流場解析に適すると考えられるDynamic SGSモデルの定式化と基礎的な数値検証、壁面における近似速度境界条件の検証、流出速度境界条件および圧力境界条件の検討と数値検証、一般座標系格子におけるLESの精度検討、有限要素法(FEM)による定式化と基礎的な数値検証を行った。工学的流れ場への応用例として、平面乱流噴流およびバックステップ流れのLES結果を示し、前述の基礎的研究成果も踏まえて、境界条件、計算格子などの影響やSGSモデルの適用性について検証した。統計量や乱流構造は工学的に十分な精度で予測されており、乱流モデル検証に有用なデータベースが得られた。また、これらの数値検証を効率的に行うために3次元非定常流れ場の画像表示手法を活用したほか、一部の解析結果についてはアニメーション表示の事例も示した。

【研究種目】一般研究(B)

【研究期間】1992 - 1993

【配分額】7,100千円 (直接経費: 7,100千円)

【研究分野】流体工学

【研究領域課題番号】01550157 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

磁性流体 / 自然対流 / 磁場制御 / 伝熱促進 / 数値解析 / 有限要素法 / 構成方程式 / スロッシング / 非ニュ-トン流体 / 極性流体 / 熱対流 / マイクロ・ポ-ラ流体

【研究成果の概要】

磁性流体の自然対流に関する実験および数値解析を行なった。実験は立方容器内,立方容器内に水平におかれた加熱円柱回りおよび二重円筒容器内の自然対流の温度分布が外部磁場によって,いかに制御されるかを調べた。壁面温度の可視化に液晶板を用いた結果,印加磁場が磁性流体の自然対流に及ぼす影響が容易に確認できた。また,立方容器内に満たされた磁性流体の自然対流の数値解析を行ない,その結果は定性的に実験結果と良好に一致した。
つぎに,磁性流体の伝熱特性を調べる基礎方程式および構成方程式に関する研究では,熱刀学的な考察を基礎としてそれに標構無差別性の原理,基本不変量の理論および最大散逸速度の原理を取り入れた構成方程式の新しい誘導方法を堤案した。この手法によって,構成方程式が標構無差別性の原理を満足すると同時に,磁性流体の持つ粘弾性効果,極性効果,導電性効果,非線形効果などを統一的に扱う基礎方程式を得ることが初めて可能となった。この手法を用いて,非極性の場合の非導電性および導電性の磁性流体の構成方程式を誘導した。
磁場制御による磁性流体のスロッシングでは,磁性流体が満たされた水宇振動する矩形容器および軸対称容器(円筒容器および球形容器)下部より垂直磁場を印加した場合の自由表面の挙動を調べた。特に液面変位の周波数応答に着目して実験を行った。そして磁性流体の垂直磁場作用下における固有角振動数を微小振幅波理論により求め,実験結果と比較検討した。また,磁性流体の内部挙動を調べるにあたり,有限要素法を用いた数値解析において,スロッシングの過渡現象における2次渦の発生が予測された。スロッシングの状況下おける磁性流体の伝熱に関してはいまだ未解決のところが多い。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1989 - 1990

【配分額】1,800千円 (直接経費: 1,800千円)

【研究分野】流体工学

【研究領域課題番号】61550137 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

磁性流体 / 磁場 / 数値解析 / 有限要素法 / 差分法 / 非ニュートン流体 / 構成方程式 / 自然対流

【研究成果の概要】

見掛け上強い磁性を有する流体として磁性流体が開発され, その特性を生かした新しい応用開発研究が各方面で活発化している. それに呼応して流体工学の新分野としての磁性流体工学の研究領域が確立されようとしているが, その包含する研究領域は広範で複雑であるため, 磁性流体の流動現象を解明するには実験ならびに数値解析が不可欠となる. 最近のコンピュータ演算能力の飛躍的発達に伴い, 従来困難であった数値計算が可能になってきており, 複雑な基礎方程式系を有する磁性流体の数値解析も可能となってきた. そこで, 本研究では各種の数値解析手法を検討し, 磁性流体の様々な流動解析を行い, 実験によって数値解析の妥当性を確認することを見的としている. まず, ニュートン流体に対する安定かつ高速な有限要素法の新しい数値解析アルゴリズムを開発し, 他の研究者による実験結果との比較・検討を行った. 本手法を正方形キャビティ内の流れおよび円柱まわりの流れに適用した結果, 計算スピードは従来の有限要素法に比較して十倍以上速く, 計算時間と容量は差分法と同程度であった. また, 計算精度も高精度であることが確められた. 円柱まわりの高レイノルズ数流れにおいては, 非常に安定な数値解法で, 二次渦の変化やカルマン渦列の発達過程を調べることができた. つぎに正方形容器内に満たされた磁性流体の自然対流の数値解析を行った. その結果, 外部磁場の印加方向, 磁場勾配の磁性流体の自然対流におよぼす影響が明らかになった. また, 数値解析の妥当性を確かめるべく, 同じモデルを用いた実験を行った. 感温液晶を用いて流れ場および温度場の可視化実験を行った. その結果, 印加磁場方向を変化させることにより磁性流体の自然対流が逆転する様子が明らかとなった. 内部の温度分布は数値解析結果と良好に一致した.

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1986 - 1987

【配分額】2,100千円 (直接経費: 2,100千円)