球面上の偏微分方程式の高速数値解法の開発と研究
【研究分野】工学基礎
【研究キーワード】
球面 / 偏微分方程式の数値解法 / 球面調和関数変換法 / FMM(高速多重極子展開法) / 2重Fourier級数展開法 / 不等間隔感覚FFT / FFT / 一般化FMM / 不等間隔FFT / Gauss点 / 偏微分方程式 / 高速多重極子展開法 / 低階数近似 / 2重Fourier級数展開 / 等間隔FFT / 二重指数関数型変数変換 / Bi-CG法 / 浅水方程式 / 乱流シミュレーション / 関数近似 / Poisson方程式
【研究成果の概要】
球面上の偏微分方程式の高速数値解法のための技術を開発することが本研究の目的である.以下のような成果を得た.
1.球面調和関数変換法に対する高速アルゴリズムをFLTSSというライブラリルーチンにまとめ,WEB上で一般に公開した.また,FLTSSを応用プログラム(Williamsonのテスト用プログラム)に実装し,その性能を評価した.さらに,低階数近似に基づく高速算法(一般化FMM)を開発し,種々の変換法を高速化する方法論を確立した.また、アルゴリズムの誤差と安定性の解析・最適化のための一般的手法として,行列積のノルムを対角スケーリングした一貫性不等式で評価する手法,および数値的な安定性の指標としてαβ積という概念を提案し、球面調和関数変換法に対する高速アルゴリズムの誤差と安定性の解析および最適化を実現した.
2.2重Fourier級数展開法に関する基礎的研究、特に球面上の関数の2重Fourier級数展開の近似精度に関する研究および2重Fourier級数展開を用いた球面上のPoisson方程式の解法の精度に関する研究を行い,被近似関数のクラスとして,radial functionsによる球面上の関数近似の誤差解析のために最近導入されたnative spaceとよばれるクラスを考えることが素直であることを示した.
3.Dutt-Rokhlinが提案した不等間隔高速Fourier変換法を詳細に研究し,その評価を行った.そして、従来提案されていた不等間隔高速(順)Fourier変換法は、Fourier(順)変換法の離散版としては適切ではなく,単純な不等間隔高速(逆)Fourier変換法において符号を変えたものがよいことを明らかにした.
4.2重Fourier級数展開法や不等間隔高速Fourier変換法を高速化するに当たっては,FFTの並列化が不可欠であり、そのための手法を開発した.
【研究代表者】