【研究分野】数理情報学

【研究領域課題番号】17K00028 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

組合せ最適化 / アルゴリズム / ストリーミングアルゴリズム / 劣モジュラ関数 / マトロイド / マッチング / 近似アルゴリズム / コミュニティ検出 / ストリーミング計算 / 数理工学 / 情報基礎 / 数理モデル

【研究成果の概要】

本年度は，昨年度に引き続き，大規模なネットワークを解析するための基本的な問題のひとつである，制約付き劣モジュラ関数最大化問題を扱い，この問題に対するストリーミングアルゴリズムの計算複雑度の解析に取り組んだ．昨年度に，制約付き劣モジュラ関数最大化問題に対する近似不可能性と空間複雑度との関係の解明に取り組み，入力データがストリームとして与えられメモリが制限されている状況において，0.585近似よりよい近似比を達成するアルゴリズムが存在しないことを示した．この成果は，本年度に論文改訂を経て査読付き論文誌SIAM Journal on Discrete Mathematicsに採択された．また，組合せ最適化における基本的な概念であるマトロイドに関連して，買い手が動的に市場にやってくる組合せ市場での価格付け問題に取り組み，昨年度に得た成果を改善したものが査読付き論文誌SIAM Journal on Discrete Mathematicsに掲載された．さらに，二部マッチングマーケットにおいて，エージェントが確率過程にもとづき出入りする場合に，貪欲アルゴリズムなど基本的なアルゴリズムの漸近的性能と各エージェントの待ち時間との関係を解明した．この成果は，ウェブとインターネット経済に関する査読付き国際会議The 17th Conference on Web and Internet Economics(WINE)に採択された．

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2017-04-01 - 2023-03-31

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】数理情報学

【研究領域課題番号】25280004 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

離散最適化 / 組合せ最適化 / 劣モジュラ関数 / 離散アルゴリズム / アルゴリズム / 劣モジュラ構造 / 数理計画

【研究成果の概要】

劣モジュラ的な離散構造に基づいて、離散最適化・組合せ最適化の理論とアルゴリズムの基礎研究を展開し、多くの研究成果を上げている。中でも、劣モジュラ構造を基礎とする離散凸関数の新たな理論を構築し、最近世界で注目される劣モジュラ的な関数(新たに導入した横断劣モジュラ関数、歪双劣モジュラ関数等）に関連する最大・最小定理を始め、離散最適化・組合せ最適化の理論と効率的アルゴリズムの基礎となる離散構造を解明した。さらに、非分割財の経済やゲーム論的配分の問題における劣モジュラ構造の有用性を明らかにした。

【研究の社会的意義】

大規模な離散最適化・組合せ最適化問題を厳密に、あるいは、近似的に解くための効率的アルゴリズムの構築に向けて、劣モジュラ的な離散構造の有効性を明らかにした。学術的な意義としては、離散最適化・組合せ最適化の理論と効率的アルゴリズムの基礎となる、離散凸関数の新たな理論構築や、新たな劣モジュラ的関数に関連する最大・最小定理の導出等であり、社会的意義としては、非分割財の経済やゲーム論的配分の問題における劣モジュラ構造の有用性の解明等である。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2013-04-01 - 2019-03-31

【配分額】17,420千円 (直接経費: 13,400千円、間接経費: 4,020千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】21740060 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

離散最適化 / 組合せ最適化 / 数理計画 / 離散凸関数 / 近似アルゴリズム / アルゴリズム / マトロイド / 劣モジュラ関数 / マトロスド

【研究成果の概要】

本研究では, 申請者が近年携わってきた離散凸解析の理論に基づき, 計算時間や解の精度の面で理論的な保証をもつアルゴリズムを構築することを目的とした. 3年間の間に様々な結果を得ることが出来たが, とくに, 複数のナップサック制約の下でのM凹関数の最大化問題に対して, 多項式時間近似スキームを構築することに成功した. また, 近傍システムという, 一般的な解集合の構造を明らかにするとともに, 近傍システムに関する分離凸最適化問題が多項式時間で解けることを示した.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】21360045 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

離散最適化 / 凸関数 / 双対性 / 劣モジュラ関数 / マトロイド / 数理工学 / 最適化 / アルゴリズム

【研究成果の概要】

工学や社会科学の諸分野における最適化の理論と応用を「離散凸パラダイム」に よって統合する研究を行った．離散凸解析の理論と応用を， 連続・離散軸，凸・非凸軸，分野横断軸，の３つの観点から整理することによって，個々の数 理的技法や応用諸問題の相互関係を明確にし，数理の深化，応用の開拓，ソフト ウェアの整備の３つの観点から研究を行い，新たな展開を達成した．とくに，数理の深化については，Ｌ凸関数最小化アルゴリズムの詳細な解析やＤＣ計画の枠組みの提示などの成果をあげた．

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009-04-01 - 2015-03-31

【配分額】17,810千円 (直接経費: 13,700千円、間接経費: 4,110千円)

【研究分野】社会システム工学・安全システム

【研究領域課題番号】20310088 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

OR / 離散最適化 / アルゴリズム / 劣モジュラ関数 / 組合せ最適化 / 数理計画 / 細合せ最滴化

【研究成果の概要】

大規模離散最適化問題の有する劣モジュラ的な離散構造に注目し, 効率的なアルゴリズムの構築のために有効な離散構造を研究した.個別には,ネットワーク・フロー, マッチング,多品種フロー, 施設配置問題, 資源配分問題, グラフ連結度,通信網設計,待ち行列ネットワークに関わる離散構造,双対貪欲アルゴリズムに関わる離散構造(双対貪欲多面体, ゾノトープ) ,ホーン論理関数や安定マッチングの離散凸構造,などであり,個別の劣モジュラ的な離散構造の解明に基づき,それらの知見を横断的に総合する基礎理論の構築と高速アルゴリズムの開発を行った.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2008 - 2012

【配分額】19,630千円 (直接経費: 15,100千円、間接経費: 4,530千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】18740042 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

組合せ最適化 / 非線形関数 / 整数計画 / 離散凸関数 / 近似解法 / アルゴリズム / マトロイド / 劣モジュラ関数 / 非線形計画 / 凸解析 / 凸関数 / 離散凸解析

【研究成果の概要】

整数計画問題とは,与えられた制約条件を満たす整数ベクトルの中から,与えられた目的関数を最小化(または最大化)する解を求める問題である.一般に整数計画問題は短時間で解くことが困難である,ということが理論的にも現実的にも知られている.とくに,目的関数と条件が非線形関数で与えられる非線形整数計画問題は,解くことが最も困難な整数計画のクラスである.本研究では,様々な非線形整数計画問題に対して,その良質な近似解を短時間で求めるアルゴリズムを提案した.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】3,760千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 360千円)

【研究分野】社会システム工学・安全システム

【研究領域課題番号】16310111 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

離散最適化 / アルゴリズム / 劣モジュラ関数 / 組合せ最適化 / 数理計画

【研究成果の概要】

平成16年度〜19年度に亘る本研究において,劣モジュラ的な新しい構造の発見,知見及び新しい効率的なアルゴリズムの開発などの多くの成果が得られた.主要な成果としては,以下のものが挙げられる.
1.離散凹関数と上下限付き手付を導入することにより,安定結婚モデルや割当モデルの統一モデルを提案し,さらにはこのモデルが常に安定な解を持つことを構成的に示した.この統一モデルは既存の多くのモデルを包含するものであり,既存のモデルの有する離散構造の本質を明らかにした.
2.木構造ネットワークにおける動的フローと施設配置問題を複合した1-センター問題の動的フロー版として考えられる問題に対して,動的に構造変更が可能な平衡2分木である区間木を用いた高速アルゴリズムを導出した.
3.劣モジュラ関数を一般化した双劣モジュラ関数を最小化する多項式時間アルゴリズムを求め,さらに,その強多項式時間アルゴリズムを初めて構築した.
4.木構造ネットワークに対する単調なmin-max型連結分割問題の初めての多項式時間アルゴリズムを開発した.また,単調でない場合のmin-max型連結分割問題,min-sum型連結分割問題は,NP困難であることを示した.
5.グラフ上の半教師付き学習のための学習機械「電気回路判別器」を提案した.この判別器は非線形電気回路理論に基づいて構成され,データセットを電位の符号によって分類するものである.
6.ネットワーク設計問題として広く研究されているソース配置問題や外部ネットワーク問題などの自然な拡張として最小横断問題を考察し,ある種の劣モジュラ的な条件の下での最小横断問題に対する多項式時間アルゴリズムを開発した.また,このアルゴリズムを用いることで無向ネットワークにおける外部ネットワーク問題も効率的に解けることを示した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2004 - 2007

【配分額】16,320千円 (直接経費: 15,600千円、間接経費: 720千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】15360043 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

凸解析 / 凸関数 / 凸集合 / マトロイド / 離散最適化 / 数理計画 / 非線形計画 / ネットワークフロー / 双対性 / 劣モジュラ関数 / アルゴリズム / 離散凸関数 / 組合せ最適化

【研究成果の概要】

本研究課題の目的は,経済学,システム工学,オペレーションズ・リサーチ,最適化理論,アルゴリズム理論などの広汎な分野における基礎的諸問題に関わる離散構造を,離散凸性という横断的視点から整理し,「離散凸」という新しいパラダイムを確立することにある.本研究課題では下記に挙げた研究成果を得ることが出来た.いずれの研究成果も査読つき国際会議や学術雑誌に採択されている.
(1)離散双対性に関わる最適化問題,とくに,M凸関数を目的関数に含む劣モジュラ流問題に対して,容量スケーリング手法に基づくアルゴリズムを提案した.一般のM凸劣モジュラ流問題に対して,このアルゴリズムはこれまでで最良の時間計算量をもつ.
(2)離散凸解析の枠組みとは独立に研究されてきたマルチモジュラー性という概念が,実質的にL凸性と等価な概念であることを示した.この結果をふまえ,整数格子点上で定義されたマルチモジュラー関数に対する離散分離定理などの諸性質を導いた.
(3)2次のM凸関数と木距離の間の密接な関係を示した.より具体的には,2次のM凸関数のヘッセ行列は実質的に木距離行列(にマイナスを掛けたもの)であることを証明した.
(4)整凸集合上の離散不動点定理を与えた.これは,数理経済学における一般均衡理論ならびに非協力ゲームへの応用をもつ.
(5)M凸関数の概念が,数理経済学で良く知られた粗代替性や単改良性と等価であることを明らかにした.
(6)離散凸解析の数理経済学への応用として,複数の不可分財と貨幣からなる市場において競争均衡が存在するための条件を与えるなどの理論構築を行うとともに,競争均衡を求めるアルゴリズムをM凸劣モジュラ流問題の枠組みを利用して開発した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】10,200千円 (直接経費: 10,200千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】14750047 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

クラスタリング / 離散最適化 / アルゴリズム / 多変量解析 / 劣モジュラ関数 / 相関行列 / 情報量規準 / 因子分析 / 相関分析

【研究成果の概要】

本研究課題は,離散最適化の最新の成果を応用して,多変量データの新たな統計的解析手法を確立することを目的としている.多変量データの統計的解析に当たっては各変量を,相関行列に基づいて比較的少数のグループに分類することが重要なステップとなる.しかし,因子分析に代表される従来からの手法は,変量の線形結合を用いており,問題点が少なくない.本研究課題は,変量の線形結合を経由せずに,相関行列の半正定値対称性とその離散構造を積極的に利用した手法の開発を目的としている.
この目的を達成するために,最大対数尤度を基準として対称劣モジュラ関数最小化を用いる手法や,情報量規準の観点から最適な分割を局所近傍探索によって求める手法を開発し,計算機上で実現した.さらに,各種の人工データ及び実データに適用して,計算時間や分割精度の観点から手法の比較検討を行った.最大対数尤度を基準とする方法は,効率的な厳密解法を用いることができるという利点の反面,クラスタリングの鎖効果と呼ばれる現象が頻繁におこるという致命的な欠点があることが明らかになった.一方,AICやBICなどの情報量規準の最適化は,効率的な厳密解法を得ることが難しく,局所近傍探索を用いた手法を設計せざるを得ない.しかし,計算機実験の結果,多くのテストデータに対して,合理的な分割を安定して提示することが確認され,実際上有望な手法であるとの結論を得た.

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2002 - 2004

【配分額】2,100千円 (直接経費: 2,100千円)

【研究分野】社会システム工学

【研究領域課題番号】13480113 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

アルゴリズム / 離散最適化 / 組合せ最適化 / 劣モジュラ関数 / 大規模システム

【研究成果の概要】

社会システムや産業活動に関係して現れる生産計画,環境計画,最適配送計画,スケジューリング,最適投資などを始めとする重要な問題の多くは,大規模かつ離散構造を有するシステムの最適化問題として捉えられる.本研究では,離散最適化問題の有用な構造的性質の抽出,および,その性質に基づいた高速アルゴリズム開発に主眼をおき,最適化分野における基礎理論の構築を試み,研究に取り組んだ.活発な研究活動の結果,新しい離散構造の発見や新しい効率的なアルゴリズムの開発などの多くの成果を得た.主要な成果としては,以下のものが挙げられる.
1.ネットワークのカット関数の劣モジーラ性に基づき,フロー要求条件を満足する供給施設の最適配置問題の効率的アルゴリズムを示した.
2.新しい最大2部マッチングアルゴリズム及び最大隣接順序に基づく新しい最大フローアルゴリズムを提案した.
3.劣モジュラ関数最小化のためのメンバシップ・オラクルに基づく0(n^2)アルゴリズムを提案し,劣モジュラ関数最小化問題への新しいアプローチを示した.
4.経済学における祖代替性と離散凹性の等価性を明らかにし,離散凹効用関数を用いてGale-Shapleyの安定マッチングの概念を拡張し,その安定解の存在を構成的に示した。
5.劣モジュラ構造の基本である基多面体の概念を一般化した複基多面体の概念を創出し,劣モジュラ構造の新しい枠組みを提示した.
6.単調線形システムの極小整数解を列挙する逐次擬多項式時間アルゴリズムを示した.
7.極大頻出集合の列挙が計算量的に難しいこと,ならびに,極小非頻出集合列挙が多項式時間で可能であることを示した.
8.ホーン理論とqホーン理論に対する関数従属性が効率よく求められることを示した.
9.単調論理関数の非双対性判定がo(log n)の推定ビットで可能であることを示した.また,様々な部分クラスの双対化問題を多項式時間で解くことが可能であることを示した.
10.データ解析手法として,データの本質を表す属性集合を求めるアルゴリズムを提案した.また,不完全なデータを説明する問題への拡張に対して,不完全性の度合いを考慮した4つの拡張を提案し,構造的性質,ならびに,計算量的性質を明らかにした.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2001 - 2003

【配分額】7,200千円 (直接経費: 7,200千円)

【研究分野】工学基礎

【研究領域課題番号】08750083 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

マトロイド / 線型回路 / アルゴリズム / 分解 / 組合せ最適化 / 劣モジュラ関数

【研究成果の概要】

線型マトロイド・マッチングは,ジャイレータ抵抗回路網の構造可解性判定に応用されている.しかし,実際問題としては,構造的に可解であることを保証するばかりでなく,数値誤差の影響を受けない組合せ的な情報に基づいて,数値計算の合理的な解法手順を示すことが望まれる.
本研究では,線型マトロイド・マッチングの分解原理を確立し,分解を求める効率的な算法を与えることによって,この問題を解決した.
さらに,海外との共同研究によって,線型マトロイド・マッチングの一般化である線型デルタマトロイド・パリティ問題に関する最大最小定理と効率的な多項式時間算法を導いた.その結果,線型マトロイド・マッチング問題が効率的に解ける仕組みについても理解が深まった.

【研究種目】奨励研究(A)

【研究期間】1996

【配分額】800千円 (直接経費: 800千円)