【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】17K05339 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Navier-Stokes / 非有界領域 / ancient solution / 周期解 / 概周期解 / Ap-weight / Navier-Stokes方程式 / Lorentz空間 / 時間周期解 / 特異積分 / ２次元h非有界領域 / 安定性 / Muchkenhoupuptクラス / 外部領域 / 定常解 / エネルギー不等式 / 解の一意性 / 函数空間 / 補間理論 / 解析学 / 関数方程式論 / 実関数論

【研究成果の概要】

２次元全空間上のNavier-Stokes方程式について、時間に依存する小さい外力がある場合について、小さいancient solutionの存在、一意性を示し。さらに解の初期摂動についての安定性についての安定性を示した。
ancient solutionは定常解はもとより、時間周期解、時間概周期解答を統一的に取り扱う概念である。有界領域では絵画指数的に減衰するので容易であるが、非有界領域では減衰が遅いところのに困難がある。この問題は３次元以上の全空間および外部領域では申請者によって既に解かれていたが、本年には２次元での考察を始めた。当面全空間の場合について考察を行って成果を得た。成果は査読付き専門誌に掲載された。
２次元では拡散効果が不十分であるから、この研究ではデータにある種の対称性を仮定し、さらに取り扱う関数空間も３次元以上で有効であったものが２次元の場合には使えないためAp-weightと呼ばれるクラスに属する重みのついた関数空間上で方程式を扱った。またGauss核をFourier multiplierとみなせ、これがAp-weightに属する重みのついて空間上で有界作用素となることを用いて結果を得た。
全空間での結果は外部領域を取り扱う際の基礎となるものである. 実際内部領域では重みがある場合と重みがない場合が本質的に差がないことを用いれば、既存の内部領域での結果を重みのある場合に書き換え、これと今回得られた全空間の結果を張り合わせることによりこの結果を外部領域に拡張できることが期待される。これは次年度以降に研究を行う。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2017-04-01 - 2023-03-31

【配分額】4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)

【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】26400173 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

differential equation / bifurcation method / singular perturbation / 微分方程式 / 分岐理論 / 反応拡散方程式 / 特異摂動論 / bifurcation / reaction diffusion / statiionary solution / stability / stationary solution

【研究成果の概要】

反応拡散方程式の研究はパターン形成の解明に重要である。本研究はある種の生物の個体群密度を記述するLotka-Volterra競合系モデルについて、Newmann境界条件のもと方程式の係数をパラメータとした、非定数定常解の大域的解構造を決定することである。非定数定常解の存在のための十分条件をLeray-ScauderのDegree理論を用いて示した。また大域的解構造は数値計算から複雑であると予想され、ある種の縮約系を導入することで、方程式は積分条件付きのスカラー方程式となる。この方程式の解構造は定数解からの分岐理論で十分調べられており、積分条件を等高線解析により解析して大域的解構造を示した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2014-04-01 - 2018-03-31

【配分額】3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)

【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】25400185 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Navier-Stokes 方程式 / 2次元 / 定常解 / 安定性 / 対称性 / Navier-Stokes方程式 / 2次元領域 / 外部問題 / エネルギー不等式 / エネルギー法 / 解析的半群

【研究成果の概要】

重力の影響下での熱対流を記述するBoussinesq方程式を重みのついた空間で考察し、解の一意存在を確立したうえで解の漸近形を二次の項まで得た。
また、2次元全平面および外部領域における定常Navier-Stokes方程式に対し、領域、外力及び境界値に新しい対称性を導入し、この仮定をみたす十分小さい外力及び境界値に対して遠方で減衰する定常解の存在を示した。
さらに、より弱い対称性の仮定の下で、十分に小さい減少する定常解のL2空間に属する任意の初期摂動に対する大域的漸近安定性を示し、また各種のノルムによる収束の速度を求めた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2013-04-01 - 2017-03-31

【配分額】4,810千円 (直接経費: 3,700千円、間接経費: 1,110千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】21540202 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

関数方程式 / 偏微分方程式論 / 安定性 / Navier-Stokes方程式 / 外部領域 / 減衰 / 対称性 / 平行平板 / Sobolev空間 / Besov空間 / Poiseuille流 / 定常解

【研究成果の概要】

2次元全空間および外部領域上のNavier-Stokes 方程式について研究を行った.対称性の強い小さな定常外力が存在する場合,遠方での減衰が非常に速い小さな 定常解が一意的に存在することが示された.またその定常解が十分小さい場合には,初期摂動についての大きさの限界なしで定常解が安定であることが示された.また平行平板間の Navier-Stokes 方程式についての研究も行った.この問題をBesov 空間で考察した結果, p が無限大の場合は外力なしの場合にも自明でない解があり,これがPoiseuille 流に相当することがわかった.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2009 - 2012

【配分額】4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】18740093 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形現象 / 反応拡散方程式 / 定常解 / 分岐 / 数理生物学モデル / 相互拡散(cross-diffusion) / ロトカ・ボルテラ系 / 楕円型偏微分方程式 / 共存定常解 / 分数型非線形拡散 / 空間非一様性 / 安定性 / 重定-川崎-寺本モデル

【研究成果の概要】

相互拡散(cross-diffusion)を伴うロトカ・ボルテラ系に対して定常解の大域分岐構造が得られた。捕食生物と餌となる生物の個体数密度がなす時空的ダイナミクスを記述する系においては、それぞれの生物の空間的拡散や捕食に関する相互作用の地域差に応じて、生物が共存する定常解がなす分岐枝が釣り針状に変形し、解が複数個存在することが判明した。また、分数型の相互拡散を伴う系においては、相互拡散項の増大に応じて、共存定常解が2種類のサイズに分類されることが分かった。

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】3,670千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 270千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】15540216 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散 / 準線形拡散 / 内部遷移層 / スパイク / 定常解 / 安定性 / prey-pradatorモデル / Morse指数 / 正値定常解 / prey-predator

【研究成果の概要】

本研究では,準線形拡散項を伴う数理生態学モデルの正値定常解集合の構造の解析,および相転移現象を記述する半線形拡散方程式の解集合の構造の解析を主として行なった.
数理生態学モデルでは拡散項が個体数密度に依存するprey-predatorモデル
u_t=Δ[ψ(u, v)u]+au(1-u-cv), v_t=Δ[ψ(u, v)v]+bv(1+du-v)
について同次Dirichlet境界条件の下で正値定常解集合の構造を解析した.この問題においてu, vはそれぞれprey, predatorの個体数密度であり,正値定常解集合が存在するための十分条件は知られており,問題になるのは正値解の形状や個数である.本研究では例えばφ(u, v)=1, φ(u, v)=1-βuとすると, βが大きいならば,適当な条件の下では3組の正値定常解が存在することを示したのみならず,それぞれの解の安定性に関する結果も得ることができた.
相転移現象モデルとして研究した方程式ほ同次Neumann境界条件下での
u_t=ε^2u_<xx>+u(1-u)(u-a(x)) (ただし0<a(x)<1)
である。拡散係数εが非常に小さいときには多種多様な定常解の存在が知られている。とりわけ、関数の値が急激に変化する内部遷移層やスパイクを持つ解が最大の関心の的である。我々の研究グループとAi-Chen-Hastingsのグループが独立に研究しており,内部遷移層が現れる位置はa(x)=1/2となる点xの近傍,スパイクが現れる位置はa(x)が極値を取る点xの近傍に限られることを示した.さらに、多重内部遷移層や多重スパイクが現れる条件や解の安定性(Morse指数)と解の形状についでも詳しい結果を得ることができた.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】13640157 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Navier-Stokes方程式 / 外部領域 / 定常解 / 周期解 / 安定性 / 境界値問題 / Lorentz空間 / 実補間 / Morrey空間 / Besov空間 / 半線型熱方程式 / 境界値 / 汎弱位相

【研究成果の概要】

柴田良弘教授との共同研究によって、n次元空間の外部領域におけるNavier-Stokes方程式のphysically reasonable solutionの自然な拡張となる定常解が一意的に存在するための、時間に依存しない外力に関する十分条件で、流体の無限遠方での速度が0である場合と0と異なる場合とを統一的に扱えるものを、Lorentz空間の双対性および実補間の理論を用いて、3以上のすべての整数nに対して与えた。
また、柴田教授および榎本裕子助手との共同研究によって、上で得た定常解は、弱Ln-空間に属する初期摂動を加えたとき、時間発展について弱Ln-空間において安定であることを示し、さらにこの摂動の大きさは、流体の無限遠方での速度について一様であることを示した。
さらに、定常解についてのこれらの結果を、外力が時間に依存する場合に拡張し、対応する時間周期解、あるいは概周期解の一意存在のための外力に関する十分条件を、劣線型作用素に対する実補間を用いて得た。またこれらの解の初期摂動および外力の摂動に関する、流体の無限遠方での速度について一様な、弱Ln-空間における安定性を示した。
一方、外部領域に関するこれらの結果をより一般の非有界領域に拡張するための準備として、阿部孝之大学院生との共同研究によって、平行平板間におけるStokes方程式の境界値問題についてのLp-理論を、高階のSobolev空間およびBesov空間に拡張し、これらの空間に属するStokes方程式の解が一意的に存在するための、外力に関る十分条件を得た。特にpが無限大の場合には解の一意性が成立せず、外力及び境界値が0に対する解としてPoiseuille流が特徴づけられることを示した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2001 - 2004

【配分額】3,800千円 (直接経費: 3,800千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】12440023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散系 / 興奮-抑制系 / 歪勾配系 / 分岐 / パターン形成 / 固有値問題 / 定常解 / 安定性 / 興奮一抑制 / 自己相似解 / 解の爆発 / 興奮ー抑制系

【研究成果の概要】

反応拡散系に見られる様々な時空間ダイナミクスは,いろいろな自然現象に見られる自発的パターン形成のモデルとなっている.本研究では,解析学的手法と数値的手法を組み合わせて,以下の問題について研究を進めた.
1.shadow systemと呼ばれる縮約系に対して,無限次元力学系の手法を適用して,安定解の空間的単調性を示した.また歪勾配構造をもつ反応拡散系に対し,安定定常解の変分法的特徴付けを得た.
2.ギーラーとマインハルトによって提唱された活性因子・抑制因子型の反応拡散系について,定常解の安定性を調べた.二つの同心球面に囲まれた領域において,抑制因子の拡散係数が無限大になった極限系の定常解のうち,境界上の一点でのみ極大となるものはいずれも適当な条件のもとで安定であることを証明した.
3.反応拡散方程式の定常解は非線形楕円型方程式の解として与えられる.楕円型方程式の正値解の存在は,定常解の構造を理解するに当たってもっとも基本的な問題である.ここでは臨界べきを持つ非線形楕円型方程式の解の存在と分岐について明らかにした.
4.反応拡散系に見られる複雑な時空間パターンのダイナミクスは,パルス状局在解が弱いあるいは強い相互作用をすることによって生じると解釈できるが,そのダイナミクスを漸近的手法を用いて解析する.
5.生物の形態形成における活性化因子--抑制因子モデル方程式、熱対流におけるSwift-Hohenberg方程式などは勾配・歪勾配系の枠組みでとらえ,縞状のパターンには、Eckhaus不安定性とZigzag不安定性の2種類の不安定性が普遍的に観察されることが示された.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2000 - 2002

【配分額】10,100千円 (直接経費: 10,100千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09640228 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散方程式 / Lotka-Volterra型 / 正値定常解 / 分岐 / 安定性 / p-ラプラシアン / Lotka-volterra型 / 比較定理 / Lotka-Volterraモデル / 強最大値原理 / 定常解

【研究成果の概要】

本研究の主たる成果は反応拡散方程式の解集合の構造と個々の解の形状に関わる以下の2つのテーマに分類される。
(1)cross-diffusion項を含む反応拡散方程式系の解析:ここではLotka-Volterra型の競合関係をモデルとする反応項とcross-diffusion項と呼ばれる拡散項からなる方程式系を扱った。数理生態学分野に現われる方程式であり、数学的に重要な課題は時間大域解が存在するための十分条件を確立すること、および共存解として大きな意味がある正値定常解集合の構造を知ることである。非定常問題に関しては空間次元が1および2の場合に、大域解の存在条件を得ることができた。また、定常問題については同次Dirichlet境界条件下で正値定常解が存在するための十分条件を調べるとともに、その一意性・非一意性を理論的および数値解析的に調べた。その結果、相互作用の係数が一定の条件をみたせば正値解が2個以上存在し得ることが理論的に明らかになった。さらに数値解析によれば、空間次元が1の場合でも半自明解から対称な正値解の分岐、さらに対称分岐解から非対称な共存解の分岐というように、解集合は非常に複雑になることが示された。これは理論的には未解明であり、今後解明していかなければならない。
(2)pラプラシアン項と反応項からなる準線形放物型方程式の解析:pラプラシアン項はその非線形性と退化性があいまって解析に困難を伴う一方、線形拡散とは大きく異なる非線形現象がもたらされる。この研究では定常問題の解集合の構造について、空間次元1の場合のみならず、高次元の場合もかなり詳しく情報が得られるとともに、解の形状についてもフラットハットと呼ばれる退化型拡散特有の性質・形状が調べられた。また、非定常問題に関して解の時間空間的変化についても従来知られていなかった結果を示すことができた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09640164 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Navier-Stokes方程式 / 定常解 / 安定性 / 弱L^n-空間 / 外部領域 / Lorentz空間

【研究成果の概要】

流体の運動を記述するモデルであるNavier-Stokes方程式の外部領域における定常解の存在、一意性及び安定性を函数解析的な方法を用いて研究した。
これまでの研究では空間次元がnの場合にはn乗可積分函数の空間が用いられていたが、平成9年度の研究で、3次元空間においては3乗可積分な定常解が存在するのは特殊な場合に限り、従って一般にはより広い空間である弱L^3空間を考える必要があることを示した。また、全空間におけるNavier-Stokes方程式については、弱L^n空間より真に広いMorrey空間に属する小さい定常解が一意的に存在するための外力についての十分条件を与え、さらにこの定常解が弱L^n空間より真に広く、さらにRadon測度以外の超函数をも含む函数空間に属する小さい初期摂動を加えても安定であることを示した。
平成10年度には空間次元nが3以上のときに、弱L^n空間におけるNavier-Stokes外部問題を考え、外力が弱L^<n/2>空間に属する十分小さいポテンシャルの導関数として与えられるという条件の下で、弱L^n空間に属する小さい定常解が一意的に存在し、かつこの定常解は弱L^n空間に属する小さい初期摂動を加えても安定であることを示した。この結果はこれまでにしられているポテンシャル論的方法による結果よりもより一般的な外力に対して適用でき、さらに今まで函数解析的な方法では取り扱えなかった3次元の場合にも適用できる。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1998

【配分額】1,900千円 (直接経費: 1,900千円)