【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】11440025 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

安定性 / 逆問題 / インピーダンス・トモグラフィー / 自由境界問題 / 有限要素法 / 多倍数計算 / カールマン・フィルター / 多倍長計算 / 幾何形状決定 / 係数決定 / インピーダンス・トモグラフィ

【研究成果の概要】

本研究は、応用数理学に現れる逆問題についてその数学解析とその成果に基づいた数値解析手法を提案することが主要目的であった。それとともに広く応用分野に登場する関連問題についても逆問題の観点から数値的な研究を実施し、本研究課題に適用できる可能性のある数値計算法の基盤を準備することも目指した。
逆問題の数学解析の点では本研究課題を通じて、大きな成果を納めることができたと考えている。さらに数学解析の成果を踏まえた数値解析手法の開発では、いくつかの注目すべき方法か提案され数値実験で有効性が確かめられたが、実データとの照合などまだ課題が残されており、研究の継続か大いに必要である。最後に、逆問題関連の数値解析の研究では、各分担者の専門的知見を活かして特色のある成果をあげることができた。さらには、外国人研究者によるサーベイや国際会誌での活発な成果もおこなった。
以下、研究成果についてやや具体的に述べる。まず、本研究課題を通じて得られた知見を盛り込んで、逆問題解析の数学と数値解析手法に関するやや入門的な解説書として研究代表者は分担者の登坂宣好氏、大西和榮氏とともに『逆問題の数理と解法』東京大学出版会,1999年)を出版した。その他、大西氏、登坂氏、磯祐介氏、河原田秀夫氏、三好哲彦氏、木村正人氏、牛島照夫氏、加古孝氏は逆問題やそれと深く関連した応用数理学に現れる問題に対して数値解析手法を発展させた。さらに、逆問題の理論的な研究は、中村玄氏、斎藤三郎氏、池畠優氏、田沼一実氏、久保雅義氏によって実施された。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2001

【配分額】11,800千円 (直接経費: 11,800千円)

【研究分野】応用物理学一般

【研究領域課題番号】10450034 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

振動インテンシティ / 騒音・振動制御 / 固体伝搬音 / 有限要素法 / 特異値分解 / エネルギー・フロー / 振動分布推定 / 逆問題

【研究成果の概要】

近年、固体中を伝わる固体伝搬波の経路把握可能な計測法の確立が早急に望まれている。振動インテンシティベクトルを計測することにより、固体波の伝搬経路を把握・可視化することが可能となるが、任意の測定点において応力6成分と振動速度ベクトル3成分の測定が必要となり、必要な全てのデータの測定が困難な場合が多い。本研究課題の目的は、従来、不可能であった肉厚構造物内部のSIベクトル分布の計測法の確立を目指す。
提案する振動インテンシティベクトル計測法は、最初に測定対象を有限要素モデル近似し、有限要素法(FEM)を用いて得られる演算子と測定された構造物表面の振動データを用いて、強制振動解析の逆問題を解く。そして、得られた構造物全体の振幅、位相分布をFEMで用いた形状関数によりへ便を行い、応力分布を求め、振動インテンシティ・ベクトル分布を推定するというものである。
本年度は、以下の研究成果を得ている。
(1)最小2乗法を併用することで、測定誤差の低減に成功した。
(2)特異値分解を併用することで、推定結果の安定化に成功した。
(3)加振された3次元ウェルダー、および、L字型と□字型の断面を持つフレーム構造のテーブルに本手法を適用し、有効性を確認した。
(4)過度振動状態の構造物にも適用可能な計測プログラムの開発を行った。
次年度は、過度振動状態の構造物の振動インテンシティ計測に対して、本研究で提案している計測法の高速・高精度化を試みる。また、得られた測定結果の振動・騒音制御への適用も試みる予定である。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1998 - 1999

【配分額】3,900千円 (直接経費: 3,900千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】07404003 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理物理 / 偏微分方程式 / トモグラフィ / 超函数 / 逆問題 / トモゲラフィ / 複素モーメント問題 / パターン形成 / 非線型非平衡系 / 有限要素法 / セレンディピティ要素 / 双曲型逆問題 / カルレマン評価 / ウェーブレット / 乱流

【研究成果の概要】

偏微分方程式の基礎理論の研究においては,ジェブレイ級の解の接続問題において,接続可能性を方程式の特性帯の重複度とジェブレイ指数に関連付けた新しい結果を得た.
解の漸近挙動・スペクトルの研究では,定数係数線型偏微分方程式が劣指数的増大度の解を持つための条件を追求し,リウビユの定理の拡張を得た.また,枯草菌のコロニーパターン形成過程の数理モデルを提出し,計算機によるシミュレーションにより2次元パターンを再現し,それが相転移的メカニズムで起こることを明らかにした.
さまざまな逆問題の研究では,双曲型方程式に対する逆問題の一意性を係数の正則性を弱めた形で導き,逆問題のリプシッツ安定性を最も望ましい形で示した.また,密度一定の2次元図形について,2方向からの投影データによる再構成問題の一意性が成り立つ場合に,その離散化版の実用的な再構成アルゴリズムを与え,安定なことを示した.一意性が成り立たない場合に適当な重み函数を見出してそれを最大にする解を計算機により探索し,非常に面白いパターンが得られることを発見した.
偏微分方程式の数値解析的研究では,中厚平板のモデルであるライスナー-ミンドラン平板に対して新しい安定化混合型4辺形有限要素を開発し,ロッキングを起こさずに薄板モデルに漸近することを検証した.また,乱流のシェルモデルにおいて,相似則を満たすカオス解を追跡しリヤプノフスペクトルを得,それが波数空間において特徴的な波数の周辺にのみ大きな値を持つことを見出した.このアトラクタ次元が大きな極限での漸近表式を導き,数値計算との良い一致を検証した.更にスケール変換に対して不変な積分作用素に適合する双直交ウェーブレットを構成し,応用を与えた.また,修正8節点セレンディピテイ要素が3次の補間誤差を持つことを示し,具体的な問題に対する有効性を確認した.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1998

【配分額】37,700千円 (直接経費: 37,700千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】02640097 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

波動方程式 / 統計解 / 有限要素法 / シュレディンガ-方程式 / 準定常状態 / 波動作用素 / 逆問題 / 制御理論

【研究成果の概要】

1.統計解の研究
非線型波動方程式 v=u',v'ー△u+|u|^fu+u=fを〓^uの任意の領域Ωで考える。ここでP>0,f〓L^2([O,T]×Ω)とする。
H^^°^1〓L^P【○!+】L^2(P=P+2)上の確率測度μで“平均エネルギ-"有限即ち,〓H(u_0,v_0)dμ(u_0,v_0)<∞,H(u_0,v_0)=1/2(||u_0||^^2H_1+||v_0||^^2+1/P||u_0||^PL^P)を与えたとき,Z=C(0,T:L^2【○!+】H_<ー1>+L^<P'>)〓L^<Pー1>(0,T;L^2〓L^<Pー1>【○!+】H_<ー1>)上のボレル測度P,P(2)=1(ここで1/P+1/P'=1)で
1ﾟZのボレル集合WでP(W)=1かつWの元はすべて上記方程式の弱解である。
2ﾟγ_0P=M,但しγ_0はu→u(0)で定まる写像
3ﾟ(エネルギ-不等式) あるC>0が存在して
〓(||u||^2L^∞(0,T;H^^ﾟ_1〓L^P)+||v||^2L^∞(0,T;L^2)+||u||^PL^∞10,T;L^P)+||v'||L^2(0,T;H_<ー1>+L^<P'>))dP
【less than or equal】C〓(1+H(u_0,v_0))dμ
となるもの(μを初期値とする統計解)が構成できた。またf=0の場合には上のZの代りにC(ー∞,∞:H_<ー1>+L^<P'>【○!+】L^2)〓L^<Pー1>_<COC>(ー∞,∞:L^2〓L^<Pー1>【○!+】H_<ー1>)を考えることにより(統計的)定常解,即ち時間のシフトで不変なものがえられる。
2.研究分担者による関連した研究として菊地の静電磁場の方程式の有限要素法による解析,谷島の時間について周期的なシュレディンガ-方程式の準定常状態の指数函数的減すい,北田の多体問題に関する変動作用素の漸近的完備性(ポテンシアルがlongーraugeの場合とshortーraugeの場合),山本のある種の二階常微分方程式に関する逆問題,非線型放物型方程式の制御,抽象的発展方程式に関する同定問題,Feedback Systemの安定性,非消散双曲型方程式のFeedback安定化,などがある。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1990

【配分額】2,000千円 (直接経費: 2,000千円)

【研究分野】電力工学

【研究領域課題番号】63550223 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

有限要素法 / 堺界要素法 / 要磁界解析 / 三次元場 / うず電流 / 最適設計 / 逆問題 / 境界要素法 / 電磁界解析 / 三次元場問題 / うず電流問題

【研究成果の概要】

本研究では電気機器設計に対する応用を前提とした、有限要素法と境界要素法の併用手法の三次元化とうず電流問題への拡張を目的としてる。電磁界を数値解析するにあたり、場を記述する物理量としてどのような変数を採用するかで処理の難易や解析精度は影響を受ける。本研究では電磁場解析に際し、考察物理量として磁気ベクトルポテンシャルAと電気スカラポテンシャルφを用いるAーφ法、および磁界の強さHと磁気スカラポテンシャルψを用いるHーψ法の二手法に関して、接合に便利な有限要素・堺界要素併用法の定式化を提案し、具体的なモデルを解析することによりその有効性を示した。またHーψ併用法を用いて解析をおこなうにあたり、未知数の個数を減少させる目的で極力スカラ-ポテンシャルψを多用する方式や、有限要素法と堺界要素法の接合を容易にし計算機容量を節約する目的で有限要素法に辺要素を採用する方式などを検討し、電気学会(三次元電磁界計算技術調査専門委員会)で提案された三次元渦電流場検証モデルの解析をおこない、その妥当性と有効性を確認した。また、このような基礎理論の開発と並行して三次元電磁界解析の実機への応用もおこなった。具体的にはリニアモ-タ、磁気浮上用磁石や、誘導加熱装置などの解析をおこない妥当な結果を得ている。さらに電磁界解析技術の新しい展開を踏まえ、電磁場解析と数理計画法とを組合せ、電気機器の最適設計に応用するという試みを我々は数年前から続けており、MRI装置用高均一超電導マグネット、角筒形リニア誘導機などの二次元および、三次元回転対称の最適設計において良好な結果を得た。

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1988 - 1990

【配分額】2,500千円 (直接経費: 2,500千円)