【研究分野】数学基礎・応用数学

【研究領域課題番号】15K13461 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数値解析 / 解の爆発 / 爆発レート / 領域爆発 / 爆発曲線 / 再爆発現象 / 確率微分方程式 / 関数微分方程式 / スケール不変性 / 爆発解 / 非線型現象 / 微分方程式 / 爆発オーダー / 爆発領域 / 非線形偏微分方程式 / 数値計算法

【研究成果の概要】

微分方程式の解の大きさが有限時間で無限大に発散する現象を爆発現象という。本研究では、これまで研究が進んでいなかった爆発曲線・領域爆発・再爆発現象といった爆発現象に焦点をあて、これに対する数値計算の方法を提案し、これらに対する理論的研究と平行して数値計算を進め、いくつかの予想を立てることが出来た。更に、一部の予想については研究期間内に数学的に証明を行うことができた。

【研究種目】挑戦的萌芽研究

【研究期間】2015-04-01 - 2018-03-31

【配分額】3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】21340024 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ミュレーション / 確率微分方程式 / ジャンプ型モデル / Malliavin解析 / 確率変数 / リスク / 誤差評価 / 非線形 / シミュレーション / 非線形偏微分方程式 / 数値解析 / 確率論

【研究成果の概要】

本研究では、主にMalliavin解析や作用素分解法を使いジャンプ型確率微分方程式解のシミュレーション方法について研究を行った。新シミュレーション方法を発見し、数学的な性質について結果を得た結果、従来の方法に比べ正確で素早く計算できる方法を発見した。また、数理ファイナンスモデルでよく使用されるジャンプ型確率微分方程式は、リスクを計るためにGreeksと呼ばれる量を計算しなければならない。この分野におけるさまざまな無限次元部分積分公式により計算式が得られシミュレーションを行った。アジアン型確率変数に対しての密度関数の下からの評価を得られて、これからフィルテリングに対しての応用を考えています。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2009 - 2011

【配分額】10,010千円 (直接経費: 7,700千円、間接経費: 2,310千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】14540148 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

nonlinear partial differential equations / optimal stochastic control / viscosity solutions / Hamilton-Jacobi-Bellman equation / mathematical finances / homogenizations / ergodic problem / numerical analysis / 粘性解理論 / 数理ファイナンス / ホモジェニゼイション / 多重スケールモデル / 非完備金融市場モデル / 最適制御理論 / エルゴード問題 / 偏微分方程式の数値解析 / 非線形退化楕円型方程式の解の平滑性 / 非線形熱方程式の解の安定性 / ショックの現れる非線形一階偏微分方程式の解の存在と一意性 / ハミルトンャコビベルマン方程式の数理ファイナンスへの応用 / 界面の発展方程式 / 変分法の数理生物学への応用 / 非線形偏微分方程式の数値解析 / 確率解析と非線形偏微分方程式の関わり

【研究成果の概要】

本計画は,非線形楕円型及び放物型偏微分方程式の新しい問題,手法,応用を開拓しようという意図の下に計画された.特に,確率過程や決定力学系の最適制御問題を記述する偏微分方程式について興味が持たれた.
一年目は,ある確率偏微分方程式の粘性解理論による取り扱いが研究され,同時に数理ファイナンスに現れる手数料付オプションの価格付けの問題考察が始められた.代表者は,これらの共同研究のため6ヵ月間パリ第9大学に滞在し(稲盛財団),数値解析も共同研究者と共に行った.2年目は,主に数理ファイナンスに現れる偏微分方程式,特に上記手数料付問題に現れる自由境界問題とその中の漸近解析,ジャンプを含む株価モデルへのオプション価格付け問題について研究した.後者は積分項付の偏微分方程式に対応する.代表者は,確率制御問題に関する退化楕円型偏微分方程式の解の平滑性の論文を書き,確率偏微分方程式に関係して非線形一階偏微分方程式の解のショック生成についての論文を準備中である.上記の数理ファイナンスの研究成果も発表準備中である.
また,代表者は本計画実行中に得られた知見をもとに,情報科学研究科大学院博士前期過程で,非線形楕円型及び放物型偏微分方程式,数理ファイナンスに現れる最適制御問題そして数値解析の授業を行った.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2002 - 2003

【配分額】4,100千円 (直接経費: 4,100千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】10440025 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

複雑系 / 数値解析 / 生態系 / 多相流 / 自由境界問題 / 数理モデル / 領域分割法 / 最適化アルゴリズム / 油濁 / 沿岸生態系 / 大規模連立一次方程式 / 反復解法 / 有限要素法 / Navier-Stokes方程式 / ニューラルネットワーク / 最適化 / 複雑形状 / 数学的モデル / 非線形偏微分方程式

【研究成果の概要】

複雑系を研究対象とする本研究の成果は、以下の4つに大別される。
(1)沿岸油濁の生態系に及ぼす影響。(2)大域最適化問題に対するハイブリッドアルゴリズムの開発とその応用。(3)(1)で提案された数理モデルから派生した数学的諸問題に対する、理論的・数値的研究及び数理モデルを記述する、偏微分方程式系の解法アルゴリズムの提案。(4)上記(1)(2)(3)の研究を強力に推進するにあたり、基盤となった国際会議・二国間セミナー等の開催。
上記(1)(2)(4)の研究の概略
(1)日本海沿岸におけるナホトカ号の油流出事故に見られるように、沿岸海域における油濁は、海域中に生息する様々な生物に大きな影響を与えるのみならず、その生態系の構造、機能にも大きな影響を与え、更に物質循環などを滞らせる。これらの現象を解明する手段として、流体力学に基づく数理モデルの構築、数値シミュレーションとその可視化を行った。ここで得られた結果は、流体実験手法に基づく結果と良い整合を示し、沿岸生態系に対する油濁負荷を軽減する技術開発に対して、数理的見地からの提言を意味している。
(2)本研究で開発されたアルゴリズムの基本原理は、複雑系の或るダイナミカルな運動パターンを模して構成されている。
(4)当該科学研究費の援助によって開催した(1)国際会議として「第12回領域分割法に関する国際会議」(1999年10月25日〜10月29日,於:千葉大学)がある。領域分割法は、複雑系を理解する上で、非常に有効であると同時に手法に内包される数学解析は、偏微分方程式の研究分野の拡大を促進している。また、(2)二国間交流セミナーとしては、「Active Controlに関する日仏セミナー」(1998年10月7日〜10月9日,於:東京)と、「数値数学に関する日中セミナー」(1998年8月24日〜8月28日,於:千葉大学)がある。参加者と講演名は本報告書内に付記されている。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1998 - 2000

【配分額】6,400千円 (直接経費: 6,400千円)