【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】16340024 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

応用数学 / 逆問題 / 非適切問題 / 数値解析 / 多倍長数値計算 / 高精度数値計算 / スペクトル法 / 数値計算 / 多倍長計算 / 偏微分方程式 / 任意精度計算

【研究成果の概要】

本課題研究では、偏微分方程式で記述される逆問題の中で、物理あるいは工学等において意味を応用逆問題に焦点を絞り、非適切問題の数学解析と数値解析の研究を行なうものである。特に将来の実用上の要請を考慮し、大規模な非適切問題の数値解析を高精度に行なうことを一つの目標とし、理論・アルゴリズム開発の他に高速多倍長計算環境の整備も研究対象としていることが特徴とも言える。
逆問題の数値シミュレーションを含む科学技術数値計算では、一般には有限桁の浮動小数点演算によって実数の近似と演算が計算機上で行なわれており、そこではIEEE754の基準により定義される倍精度方式が今日では一般的に利用されておいる。これは、数値計算の一般エンドユーザの利用環境では、10進法で約15桁の精度で近似された実数表現が前提であることを意味する。このため計算機上では丸め誤差は不可避な問題で、実数を厳密(exact)に扱うことは不可能であり、さらに微分方程式等の関数方程式の数値計算では離散化に誤差も当然考慮すべきものである。安定な計算スキームを期待させる適切(well-posed)な問題とは異り、逆問題で代表される非適切(ill-posed)問題では誤差の混入は信頼できる致命的であるが、これまでの非適切問題の数値解析研究では離散化誤差やデータに混入する観測誤差ばかりに議論が制限された嫌いがあり、丸め誤差まで踏む込んだ議論が十分とは言えなかった。本研究は、離散化誤差や観測誤差に関する先行研究を前提に、計算機の丸め誤差の挙動まで考慮し、理論的な考察のみならず、この問題を解決する新たな多倍長計算環境も構築していることが他の研究との大きな相違点である。さらに、高速な多倍長数値計算環境をひとたび導入した場合、函数方程式の離散化の高精度化もこれまでとは違う視点が生まれ、多倍長数値計算環境上での新しい計算手法の開発と確立も図られている。
具体的な成果は、本課題研究の先行研究で設計・実装されている高速多倍長数値計算環境exflibの整備を行ない、特に分担者・藤原宏志氏の研究により、科学技術シミュレーションへの活用を目指して特殊函数の組み込み化を図り、さらにはスーパーコンピュータ上でも稼働する計算環境の開発も行ない、成果を挙げた。また、従来の離散化手法よりも遥かに高精度なスペクトル法系列の離散化手法を多くの問題に適用し、多倍長数値計算環境と組み合わせて数値実験を行ない、提案の有効性を確認した。また、実用面での応用逆問題を意識し、観測誤差も考慮した問題への正則化法の適用も視野に入れた研究を行ない、混入する誤差と正則化パラメータ・丸め誤差の関係についての知見も得ている。
非適切性は問題固有の性質であり、逆問題に限ってみても、問題毎にその非適切性の発現は異っているため、個別の逆問題についての数学解析の研究を本課題研究の基礎研究と位置づけ、解の一意性や条件安定性に帰還する研究を行なった。この研究分担者・山本昌宏氏が逆散乱問題について精密な成果を得ている。また、また応用逆問題を目指して数学解析・数値解析の理論を実用問題に適用するには、実用問題を視野にいれた計算力学的な基礎研究が不可欠であり、分担者毎のテーマに沿って応用逆問題の個別的研究を行なっている。さらに、高速多倍長数値計算環境の将来の応用の一つとして計算機支援証明の研究も取り上げ、精度保証数値計算の研究も課題研究の一環として行ない成果を得た。
なお、この分野でのアジアの研究者の共同研究を強化するため、中華民国(台湾)の研究者との研究交流を図るための日台共同セミナーを中華民国中央研究院数学研究所および台湾大学数学系と定期的に行ない、また、中国・韓国との研究者の交流も図り、将来の研究推進の基礎を築いた。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2004 - 2006

【配分額】16,100千円 (直接経費: 16,100千円)

【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】15540177 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

最適化問題 / 変分問題 / 特異摂動問題 / 非線形シュレディンガー方程式 / 数値計算 / 逆伝導度問題 / 自由境界問題 / スペクトル / 多重安定パターン / 逆問題 / 非線形最適化問題 / 対称性の崩れ / ヘレショウ流れ / シュレディンガー作用素 / 非線型楕円型方程式 / ウエイヴレット基底 / 境界値逆問題 / 双曲多様体 / 放物型偏微分方程式 / 非線型シュレデインガー方程式

【研究成果の概要】

1.倉田は、非線形熱伝導現象や数理生態学における個体増殖モデルでの最適捕獲戦略の存在と定性的研究を行い、数値計算によりその可視化を行った。また、分担者の田中とともにAllee効果をもつ個体増殖モデルにおける環境因子の多重安定パターン形成の機構の研究を行った。非線形シュレディンガー方程式での対称性の崩れ現象の研究や零点をもつ解の半古典極限での漸近プロファイルの研究を行った。
2.岡田は、一般の有界領域での数値計算が実行できることを目指して、境界スプライン関数の構成を行った。特に1次元で、有界区間でも適用できる関数近似に適した基底関数を作ることができた。境界の近くでは基底関数を修正し、近似するべきもとの関数をNewtonの補間多項式によって境界外の点に補外することが鍵となった。
3.酒井は、ヘレショウ流れの自由境界問題において、初期領域の境界に尖点(内角が360度の角)がある場合を、層流点および乱流点であるための十分条件について調べた。
4.磯崎は、電気伝導体の表面での電位、電圧の測定値から物体内部の電気伝導度を再構成する逆問題の数学的研究を行った。逆問題と双曲幾何学との発見をし、また物体内の電気伝導度が一部分で不連続的に大きくなっている場合に、不連続部分の位置を特定する理論を完成し,数値計算アルゴリズムを発見した。
5.神保は、薄い領域のある場合のギンツブルグ-ランダウ方程式の解の構造の研究を推し進めた。またマクスウェル方程式の主要部をなす楕円型作用素のスペクトルをヒルベルト空間論の枠組みで解析し離散性を示し固有振動数の摂動問題を設定した。従来同様のミニマックス法による固有値の特徴付けを行い、精密な固有関数を作成して固有値の摂動公式を弱形式の方法によって研究した。
6.田中は、非線型楕円型方程式における特異摂動問題において、広いクラスの非線形項に対して凝縮する解の構成に成功した。特異摂動パラメーターが小さいとき高振動をもつ解があらわれ一般に非常に複雑な振る舞いを見せるが、空間次元が1の場合、解の挙動と方程式の空間変数xへの依存の関連をadiabatic invariantを用い記述し、さらにadmissibleなadiabatic invariantをもつ解の族の存在を示した。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2003 - 2005

【配分額】3,400千円 (直接経費: 3,400千円)

【研究分野】機械材料・材料力学

【研究領域課題番号】09895003 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 数理解析 / 数値計算 / 非破壊検査 / 適切化手法 / 破壊力学 / 境界要素法 / 特異値分解

【研究成果の概要】

本研究の目的は,固体力学分野で現れる逆問題について,その数理構造の解明を行うことにより個々の逆問題自身のもつ不適切性の構造を明らかにし,これを適切化解法の機能に関する数理構造の解明と有機的に連携させることにより,逆問題の適切化解法を体系化する態勢を構築することにある.このため,固体力学に精通した逆問題研究者と応用数学者とからなる研究組織を構成し,逆問題研究の現状と問題点の調査を行い,重点領域研究として研究を行う場合に必要な,研究組織の態勢,研究課題についてフィージビリティスタディを行った.
主な研究成果は,以下の通りである.
まず,逆問題自身の不適切性の構造と適切化解法の機能的構造について,従来と現状の研究を総括し,将来の方向を探る調査を実施する.一般性の高い逆問題の分類として,境界値/初期値逆問題,領域/境界逆問題,負荷逆問題,材料特性逆問題,および支配方程式逆問題を取り上げた.これらの研究対象に対して,(1)逆問題の数理構造の解明,(2)逆解析手法の数理構造の解明,および(3)逆解析手法の適用について検討を行った.これらの検討結果をもとに,逆問題の構造に関する体系化,および適切化逆解析手法の特性の体系化を行い,効率的な適切化手法構築の指針について議論を行った.さらに,特定領域研究として研究を行う場合に必要な,研究組織の態勢,研究課題について議論を行い,平成10年度特定領域研究(B)として,「固体にかかわる逆問題 -工学的側面とその科学」の研究計画をまとめた.

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997

【配分額】2,200千円 (直接経費: 2,200千円)

【研究分野】広領域

【研究領域課題番号】06305005 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 非適切性 / 安定性 / 数値計算 / 設計 / 偏微分方程式 / 積分方程式 / 正則化 / 適切性 / 数値解析 / 数理工学

【研究成果の概要】

本研究課題においては広領域にわたる研究組織の下で、数理工学において基礎方程式として現れる流体あるいはラプラス場、振動系における逆問題ならびに材料特性・負荷の決定に関わる逆問題についてその一意性ならびに安定性などの適切性の構造が数理解析的立場から解明された.さらに数理解析的成果から効率的かつ合理的な数値解析手法の開発にむけた研究がなされた。
工学とその関連分野における逆問題の研究に関して、数理解析と数値解析的側面の両面にわたる研究者の組織化が本研究課題の大きな特色であるが,それと同時に本研究組織には広い専門分野から分担者が加わっているので、先端工業技術などの支援のためにも機敏に適応し、総合的見地から寄与することが可能であった。
数理解析的側面においては、伝統的な数学解析の見地から不適切な問題とされて研究がなおざりにされてきたさまざまな逆問題の適切性の構造が解明された。本課題におけるこのような研究成果としては、カ-レマンによる偏微分方程式に関する古典的な評価による逆問題の解の一意性の成果および制御論によって逆問題の一意性から安定性を導く手法,非適切性成分の数学的研究などをあげることができる.逆問題の一意性に関しては,この分野の第一線にある研究者をアメリカ,ロシア,フランスなどから日本に招せいして集中的に討論・研究連絡を行なった.
これらの理論的成果は逆問題の数値解析に結合されるべきものであり、特に前項の非適切成分の研究などは信頼性のある数値解法のために応用されつつある.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1994 - 1996

【配分額】7,400千円 (直接経費: 7,400千円)