【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】08404005 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

特異極限法 / 特異摂動法 / 平均曲率方程式 / 爆発現象の数理 / 自由境界問題 / パターン形成 / 特異現象の数値解析 / 界面ダイナミクス / パターン形式 / 曲率方程式 / 数値分岐理論 / 生体系モデル / 安定性理論 / ウェーブレット / パターン解析 / 無次元力学系 / 界面方程式 / 伝染病モデル / 境界追跡法 / 非線形非平衡現象の理論的解明 / 非平衡系に現われる時空間パターン / 特異極限解析 / 動画化システム

【研究成果の概要】

非線形現象の理解に向けて、それらを支配する様々な特異性を解析およびそれを相補する計算機解析を用いることから多角的に考察してきた。代表者は2年目から東京大学から広島大学に移ったことから,分担者はかなり変更したが、申請した課題遂行には支障がなっかた。三村は反応拡散系に現れるパターン形成を主な研究としてきたが、特に、時空間パターンを数理的に捉える手法として、特異極限法の開発を進めてた。上山はその計算機解析を実行した。坂元は、特異摂動法の研究を進め、高次元内部遷移層理論を構築した。俣野は反応拡散系の解の定性的性質を無限次元力学系理論から考察した。永井は非線形拡散系に現れる特異現象の一つである解の爆発問題を研究し、その定性的性質を明らかにした。河野、宍倉、久保は数学における特異性の基礎理論の開発として、幾何学的、複素力学系理論の研究を進めた。大春は非線形解析の基礎理論として、発展方程式に対する非線形半群理論を構築した。時弘は超離散化の手法を開発し、ソリトンセルオートマトンと微分方程式の間にある数理構造を明らかにした。山本は偏微分方程式の特異問題である逆問題の理論及び数値解析の枠組みを構築した。柳田、木村は平均曲率方程式を理論的そして数値解析の視点から考察した。一方、応用の観点から、稲葉は数理人口学における疫病モデルの解析を進め、三村、坂口は生物系に現れるパターンの多様性を数理モデルの解析から理論的解釈を与えた。林、山田は大規模計算機シミュレーション解析から、地球循環現象の解明を行った。
以上の結果は、国内外の研究会で報告されており、その多くは毎年開催される応用数学合同研究集会で発表され、出版物となって刊行されている。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1996 - 1999

【配分額】40,700千円 (直接経費: 40,700千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】07404003 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理物理 / 偏微分方程式 / トモグラフィ / 超函数 / 逆問題 / トモゲラフィ / 複素モーメント問題 / パターン形成 / 非線型非平衡系 / 有限要素法 / セレンディピティ要素 / 双曲型逆問題 / カルレマン評価 / ウェーブレット / 乱流

【研究成果の概要】

偏微分方程式の基礎理論の研究においては,ジェブレイ級の解の接続問題において,接続可能性を方程式の特性帯の重複度とジェブレイ指数に関連付けた新しい結果を得た.
解の漸近挙動・スペクトルの研究では,定数係数線型偏微分方程式が劣指数的増大度の解を持つための条件を追求し,リウビユの定理の拡張を得た.また,枯草菌のコロニーパターン形成過程の数理モデルを提出し,計算機によるシミュレーションにより2次元パターンを再現し,それが相転移的メカニズムで起こることを明らかにした.
さまざまな逆問題の研究では,双曲型方程式に対する逆問題の一意性を係数の正則性を弱めた形で導き,逆問題のリプシッツ安定性を最も望ましい形で示した.また,密度一定の2次元図形について,2方向からの投影データによる再構成問題の一意性が成り立つ場合に,その離散化版の実用的な再構成アルゴリズムを与え,安定なことを示した.一意性が成り立たない場合に適当な重み函数を見出してそれを最大にする解を計算機により探索し,非常に面白いパターンが得られることを発見した.
偏微分方程式の数値解析的研究では,中厚平板のモデルであるライスナー-ミンドラン平板に対して新しい安定化混合型4辺形有限要素を開発し,ロッキングを起こさずに薄板モデルに漸近することを検証した.また,乱流のシェルモデルにおいて,相似則を満たすカオス解を追跡しリヤプノフスペクトルを得,それが波数空間において特徴的な波数の周辺にのみ大きな値を持つことを見出した.このアトラクタ次元が大きな極限での漸近表式を導き,数値計算との良い一致を検証した.更にスケール変換に対して不変な積分作用素に適合する双直交ウェーブレットを構成し,応用を与えた.また,修正8節点セレンディピテイ要素が3次の補間誤差を持つことを示し,具体的な問題に対する有効性を確認した.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1998

【配分額】37,700千円 (直接経費: 37,700千円)