【研究領域課題番号】20F20319 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非整数階偏微分方程式 / 混合型非整数階微分 / 一意存在 / 逆問題 / 一意性 / 安定性

【研究成果の概要】

まず、単独の時間について非整数階の微分項を持つ非整数階偏微分方程式を対象とし、解の一意存在性・漸近挙動などの基本性質を明らかにしていった。時間微分の項が古典的なものと大きく異なり作用素論的な扱いを要するので、そのための偏微分方程式論的な方法論を考えて確立を目指した。次に、そのような基礎理論に基づき、係数や非整数階微分の階数など現象を規定する重要なパラメータを解の観測可能なデータから決定するという逆問題における一意性や安定性などの数学解析に関してを考察を進めた。非整数階偏微分方程式は、モデル方程式として応用分野でもその数学解析が求められており、本研究はそのような要請に応える数学解析の成果を目指している。さらに混合型の非整数階微分を持つ偏微分方程式にも研究対象を広げた。本研究による成果を用いて、産業界・環境問題に関連する逆問題の解決に寄与していくことに努め、応用面からのフィードバックにより、非整数階偏微分方程式に対する数学解析を深化させることを目指した。

【研究種目】特別研究員奨励費

【研究期間】2020-11-13 - 2023-03-31

【配分額】2,200千円 (直接経費: 2,200千円)

【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】15H05740 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 安定性・一意性 / 係数決定 / 境界値逆問題 / リーマン計量決定 / 複雑流体 / 非整数階偏微分方程式 / 産業数学 / 係数決定逆問題 / 流体力学の基礎方程式 / 楕円型方程式 / 双曲型方程式 / 安定性 / 一意性 / 数学解析 / 複雑流体の逆問題 / 非ニュートン流体 / 一意性・安定性 / リーマン計量決定逆問題 / 粘弾性体の係数決定逆問題 / 関数方程式論 / 非整数階微分方程式

【研究成果の概要】

偏微分方程式の係数を解の限定されたデータで決定する係数決定逆問題の数学解析と応用を研究対象とした。主な課題は以下であった：（Ａ） 楕円型方程式の係数決定逆問題. (Ｂ）リーマン多様体におけるリーマン計量決定逆問題.（Ｃ） 流体力学におけるさまざまな非定常方程式の係数決定逆問題.（Ｄ） 非整数階偏微分方程式の係数決定逆問題.（Ｅ） 諸科学技術分野からの課題提起：包括的な数学解析手法の開発を現場との課題と関連づけて遂行した。

【研究の社会的意義】

学術的意義：さまざまな現象と直結した逆問題の数学解析を一気に推進して、国際規準となる成果群を確立し、今後の多様な研究の進展の基礎を構築した。数学分野において逆問題という研究領域を拡大し若手の研究者人口を増大させた。社会的意義：環境予測、感染拡大の予測など喫緊の課題の解決において現象を支配するパラメータの決定とそれに基づくシミュレーションという逆問題を組み込んだ方法論の重要性への社会的認知度を、数学解析の成果を通じて広め、さらに産業界からの逆問題的手法の注目度を高めた。その結果、産業界において数学的手法の現場での活用への要求が増大した。

【研究種目】基盤研究(S)

【研究期間】2015-05-29 - 2020-03-31

【配分額】182,000千円 (直接経費: 140,000千円、間接経費: 42,000千円)

【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】15H02059 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 一意性 / 安定性 / 非整数階拡散方程式 / 最大値原理 / ソース項決定逆問題

【研究成果の概要】

本研究課題では、係数決定逆問題として、次の４つを主な研究対象とした：(A) 楕円型方程式の係数決定逆問題の一意性 (B)リーマン多様体におけるリーマン計量決定逆問題
(C) 流体力学におけるさまざまな非定常方程式の係数決定逆問題 (D) 非整数階偏微分方程式の係数決定逆問題.
該当する期間に、特に課題(D) に関して研究を集中させた。逆問題の研究対象となる非整数階微分方程式は、汚染物の不均質媒質中の異常拡散だけではなく、さまざまな場合に現れ、パラメータ推定などと関連して、その逆問題解析が重要である。例えば、石油探査や地熱発電の効率的な運用のためには、亀裂などが想定される地下構造におけるガスや熱の拡散の精密なシミュレーションが重要である。亀裂などの複雑な地下構造のために、熱拡散は古典的な移流項が付いた熱伝導方程式では適切なモデル方程式とならない。本研究の課題(D)を遂行するにあたり、諸科学分野への応用も視野に入れて、地熱発電の冷却水の適切な放出のための地下の熱拡散現象を研究しているスタンフォード大学のポスドク研究員の鈴木杏奈氏を東京大学大学院数理科学研究科に招へいして、共同研究を行った。その成果は "Initial/boundary value problem and some properties for fractional heat transfer equation" として論文にまとめているところである。

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】2015-04-01 - 2016-03-31

【配分額】8,190千円 (直接経費: 6,300千円、間接経費: 1,890千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15654015 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

マクスェル方程式 / ラメの方程式 / 係数決定 / 一意性 / 安定性 / デイリクレ ノイマン写像 / カーレマン評価 / マックスウェル方程式 / 逆問題

【研究成果の概要】

ラメ方程式およびマクスウェル方程式を主に等方性のある媒質で考察し、弾性係数などの物理的な性質が空間変数に依存するとする。このとき、境界近くの観測によってそれらの係数を決定するという逆問題の数学解析を行った。この逆問題の物理的な重要性は、たとえば弾性体の逆問題の場合を考えると明らかである;境界での応力に対応する法線微分によって媒質内部の密度分布を決定するという問題になり、地球の内部構造の決定、物理探鉱学および非破壊検査などにおける基本的な問題となる。この種の問題に対しては実用・応用上の必要からおびただしい数値計算結果がある。数学解析からの結果として要求されることは一意性・安定性などの適切性であり、これが未知係数の構成の近似解法のために必要不可欠であるだけではなく、数学の立場から応用分野の研究者に明らかにしなくてはならない知見である。しかしながら世界的にみても数学解析からの決定的な結果は知られていなかったが、数学解析的な成果が本研究計画の枠組みで明らかにされた。
研究分担者は主にデイリクレ・ノイマン写像を用いる定式化に関して研究成果を挙げた。この定式化では境界値の観測の反復(一般には無限回)を要求されているが数学的に満足すべき一意性が証明された。
研究代表者はCarleman評価とよばれる手法に基づいて有限回の観測データによって本逆問題に関して妥当な条件のもとで領域全体にわたって一次のオーダ(Lipschitz連続性)の安定性を確立した。その結果としてHadamardの意味での適切性を示した。これらの解析的成果は有効な数値解析手法の開発のために有効である。

【研究種目】萌芽研究

【研究期間】2003 - 2004

【配分額】3,600千円 (直接経費: 3,600千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】15340027 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 数学解析 / 数値解析 / 不安定性 / 正則化 / 応用逆問題 / 数値解法 / 正則化法 / 安定性

【研究成果の概要】

直接視ることができない対象の内部の物理的な性質を境界における観測などの利用できるデータから決定したり、結果から原因を推定するという逆問題の研究が数理科学や工業現場において多様な形で現れてきており、その数学解析とそれに基づいた数値解析手法の開発が最近益々重要になってきている。その理由としては、逆問題の応用上の重要性とあいまって、計算機や観測機器が近年飛躍的に向上してきたことがある。そのために従来型の数値解法の改良が強く期待されている。しかし、数値解法の開発や品質保証のためには逆問題自体の数学も遂行されなくてはならないが、あまり成果が挙がっていないのが現状である。例えばプラントなどの内部の状態を適切に評価・制御して効率的かつ経済的な施設の運営に結びつけるような産業界における逆問題には本質的な不安定性があり、合理的かつ有効な数値解法のためには、従来型の手法をあてはめることは危険である。言い換えれば、良好な数値解を得るためには、もとの逆問題に安定性の度合いにみあった精度を保証する数値解法を選ぶ必要がある。そこで対象となっている個々の逆問題に対して一意性や安定性などの数学解析の研究がまず必要である。本研究ではそのような逆問題の数学解析の成果とそれに立脚した有効な数値解法が開発された。数学解析の手法としても偏微分方程式論や関数論など知識を駆使した多彩な成果が得られた。さらに本研究成果に関して産業界との連携が深まり、特許の出願が成された。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2003 - 2006

【配分額】13,900千円 (直接経費: 13,900千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】11440025 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

安定性 / 逆問題 / インピーダンス・トモグラフィー / 自由境界問題 / 有限要素法 / 多倍数計算 / カールマン・フィルター / 多倍長計算 / 幾何形状決定 / 係数決定 / インピーダンス・トモグラフィ

【研究成果の概要】

本研究は、応用数理学に現れる逆問題についてその数学解析とその成果に基づいた数値解析手法を提案することが主要目的であった。それとともに広く応用分野に登場する関連問題についても逆問題の観点から数値的な研究を実施し、本研究課題に適用できる可能性のある数値計算法の基盤を準備することも目指した。
逆問題の数学解析の点では本研究課題を通じて、大きな成果を納めることができたと考えている。さらに数学解析の成果を踏まえた数値解析手法の開発では、いくつかの注目すべき方法か提案され数値実験で有効性が確かめられたが、実データとの照合などまだ課題が残されており、研究の継続か大いに必要である。最後に、逆問題関連の数値解析の研究では、各分担者の専門的知見を活かして特色のある成果をあげることができた。さらには、外国人研究者によるサーベイや国際会誌での活発な成果もおこなった。
以下、研究成果についてやや具体的に述べる。まず、本研究課題を通じて得られた知見を盛り込んで、逆問題解析の数学と数値解析手法に関するやや入門的な解説書として研究代表者は分担者の登坂宣好氏、大西和榮氏とともに『逆問題の数理と解法』東京大学出版会,1999年)を出版した。その他、大西氏、登坂氏、磯祐介氏、河原田秀夫氏、三好哲彦氏、木村正人氏、牛島照夫氏、加古孝氏は逆問題やそれと深く関連した応用数理学に現れる問題に対して数値解析手法を発展させた。さらに、逆問題の理論的な研究は、中村玄氏、斎藤三郎氏、池畠優氏、田沼一実氏、久保雅義氏によって実施された。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】1999 - 2001

【配分額】11,800千円 (直接経費: 11,800千円)

【研究分野】広領域

【研究領域課題番号】06305005 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

逆問題 / 非適切性 / 安定性 / 数値計算 / 設計 / 偏微分方程式 / 積分方程式 / 正則化 / 適切性 / 数値解析 / 数理工学

【研究成果の概要】

本研究課題においては広領域にわたる研究組織の下で、数理工学において基礎方程式として現れる流体あるいはラプラス場、振動系における逆問題ならびに材料特性・負荷の決定に関わる逆問題についてその一意性ならびに安定性などの適切性の構造が数理解析的立場から解明された.さらに数理解析的成果から効率的かつ合理的な数値解析手法の開発にむけた研究がなされた。
工学とその関連分野における逆問題の研究に関して、数理解析と数値解析的側面の両面にわたる研究者の組織化が本研究課題の大きな特色であるが,それと同時に本研究組織には広い専門分野から分担者が加わっているので、先端工業技術などの支援のためにも機敏に適応し、総合的見地から寄与することが可能であった。
数理解析的側面においては、伝統的な数学解析の見地から不適切な問題とされて研究がなおざりにされてきたさまざまな逆問題の適切性の構造が解明された。本課題におけるこのような研究成果としては、カ-レマンによる偏微分方程式に関する古典的な評価による逆問題の解の一意性の成果および制御論によって逆問題の一意性から安定性を導く手法,非適切性成分の数学的研究などをあげることができる.逆問題の一意性に関しては,この分野の第一線にある研究者をアメリカ,ロシア,フランスなどから日本に招せいして集中的に討論・研究連絡を行なった.
これらの理論的成果は逆問題の数値解析に結合されるべきものであり、特に前項の非適切成分の研究などは信頼性のある数値解法のために応用されつつある.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1994 - 1996

【配分額】7,400千円 (直接経費: 7,400千円)