【研究領域課題番号】22K03379 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散系 / 分岐 / 楕円型偏微分方程式 / 放物型偏微分方程式 / 安定性

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2022-04-01 - 2025-03-31

【配分額】4,290千円 (直接経費: 3,300千円、間接経費: 990千円)

【研究領域課題番号】19K03581 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散系 / 分岐 / 楕円型偏微分方程式 / 非線形拡散 / 安定性 / 反応拡散方程式 / 拡散の相互作用 / 非線形楕円型方程式 / アプリオリ評価 / 写像度

【研究成果の概要】

有界領域において共通の資源を取り合う関係にある２種類の競争種にとって，合理的に資源を摂取するには，競争相手の種が多い場所ほど空間的拡散を促進させた方が好戦略に思われる．この戦略を「交差拡散」とよばれる拡散の相互作用を表す非線形項として，従来のロトカ・ボルテラ系に加味したモデルが，重定，川崎，寺本(1979）によって提唱され，現在では「SKTモデル」とよばれている．SKTモデルにおいては，定常問題の解構造の解明が重要な問題として残されており，本研究課題においては，交差拡散係数を増大させたときの，定常解の大域分岐構造の導出を主目標としてきた．
前年度までの研究によって，両種の交差拡散係数を同程度に大きくしたとき，ノイマン境界条件の下では，競争種どうしの空間的棲み分けは不完全排他の形で起こることが分かった，すなわち，片方の種の生存地域において，競争相手である他種のが，比較的少ないながらも生存している状況が定常解で再現された．さらに，非定数な定常解の集合は，定数解からのピッチフォーク分岐枝で構成されていることが分かった．
当該年度においては，ディレクレ境界条件の下で，両種の交差拡散係数を同程度の大きくすると，定常解の大域分岐枝は「競争種どうしの完全排他的な棲み分けを特徴づける部分」と「両種がともに領域の中心付近に小さいピークをとる小丘共存を特徴づける部分」が繋がる形で出現することが分かった．非線形楕円型方程式の解構造の観点では，小丘共存の部分は零解からの１次分岐枝で構成されていて，その枝から対称性を壊す２次分岐もしくは不完全分岐が起こり，完全排他の部分が２次分岐枝で構成されることを明らかにした．
また，attractive transition 型の非線形拡散項を伴うロトカ・ボルテラ共生系の定常解の研究に従事し，非定数定常解が出現するメカニズムを分岐理論の立場で明らかにしている．

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2019-04-01 - 2023-03-31

【配分額】4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)

【研究分野】数学解析

【研究領域課題番号】15K04948 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散系 / 拡散の相互作用 / 分岐 / 極限系 / 競争モデル / 反応拡散方程式 / 非線形楕円型方程式 / 安定性 / 非線形拡散 / 楕円型偏微分方程式 / 交差拡散 / 移流 / 数理生物学モデル / 定常パターン

【研究成果の概要】

本研究課題においては、競争関係にある２種類の生物種の個体群密度の時空的変化を記述する反応拡散系に関する研究を行った。具体的には、交差拡散項とよばれる非線形拡散項を伴うロトカ・ボルテラ系（重定・川崎・寺本モデル,1979）に対して、交差拡散項の係数を無限大まで大きくしたときの定常解の漸近挙動を調べた。従来の研究が後れていた「第２極限系」とよばれる近似問題に対して、解の大域分岐構造を明確化した。この研究成果によって、重定・川崎・寺本モデルの定常解集合がサドルノード分岐曲線とよばれる釣り針状の曲線をなすことが明らかになった。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】2015-04-01 - 2019-03-31

【配分額】4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)

【研究分野】大域解析学

【研究領域課題番号】18740093 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

非線形現象 / 反応拡散方程式 / 定常解 / 分岐 / 数理生物学モデル / 相互拡散(cross-diffusion) / ロトカ・ボルテラ系 / 楕円型偏微分方程式 / 共存定常解 / 分数型非線形拡散 / 空間非一様性 / 安定性 / 重定-川崎-寺本モデル

【研究成果の概要】

相互拡散(cross-diffusion)を伴うロトカ・ボルテラ系に対して定常解の大域分岐構造が得られた。捕食生物と餌となる生物の個体数密度がなす時空的ダイナミクスを記述する系においては、それぞれの生物の空間的拡散や捕食に関する相互作用の地域差に応じて、生物が共存する定常解がなす分岐枝が釣り針状に変形し、解が複数個存在することが判明した。また、分数型の相互拡散を伴う系においては、相互拡散項の増大に応じて、共存定常解が2種類のサイズに分類されることが分かった。

【研究種目】若手研究(B)

【研究期間】2006 - 2008

【配分額】3,670千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 270千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】12440023 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散系 / 興奮-抑制系 / 歪勾配系 / 分岐 / パターン形成 / 固有値問題 / 定常解 / 安定性 / 興奮一抑制 / 自己相似解 / 解の爆発 / 興奮ー抑制系

【研究成果の概要】

反応拡散系に見られる様々な時空間ダイナミクスは,いろいろな自然現象に見られる自発的パターン形成のモデルとなっている.本研究では,解析学的手法と数値的手法を組み合わせて,以下の問題について研究を進めた.
1.shadow systemと呼ばれる縮約系に対して,無限次元力学系の手法を適用して,安定解の空間的単調性を示した.また歪勾配構造をもつ反応拡散系に対し,安定定常解の変分法的特徴付けを得た.
2.ギーラーとマインハルトによって提唱された活性因子・抑制因子型の反応拡散系について,定常解の安定性を調べた.二つの同心球面に囲まれた領域において,抑制因子の拡散係数が無限大になった極限系の定常解のうち,境界上の一点でのみ極大となるものはいずれも適当な条件のもとで安定であることを証明した.
3.反応拡散方程式の定常解は非線形楕円型方程式の解として与えられる.楕円型方程式の正値解の存在は,定常解の構造を理解するに当たってもっとも基本的な問題である.ここでは臨界べきを持つ非線形楕円型方程式の解の存在と分岐について明らかにした.
4.反応拡散系に見られる複雑な時空間パターンのダイナミクスは,パルス状局在解が弱いあるいは強い相互作用をすることによって生じると解釈できるが,そのダイナミクスを漸近的手法を用いて解析する.
5.生物の形態形成における活性化因子--抑制因子モデル方程式、熱対流におけるSwift-Hohenberg方程式などは勾配・歪勾配系の枠組みでとらえ,縞状のパターンには、Eckhaus不安定性とZigzag不安定性の2種類の不安定性が普遍的に観察されることが示された.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2000 - 2002

【配分額】10,100千円 (直接経費: 10,100千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】09640228 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

反応拡散方程式 / Lotka-Volterra型 / 正値定常解 / 分岐 / 安定性 / p-ラプラシアン / Lotka-volterra型 / 比較定理 / Lotka-Volterraモデル / 強最大値原理 / 定常解

【研究成果の概要】

本研究の主たる成果は反応拡散方程式の解集合の構造と個々の解の形状に関わる以下の2つのテーマに分類される。
(1)cross-diffusion項を含む反応拡散方程式系の解析:ここではLotka-Volterra型の競合関係をモデルとする反応項とcross-diffusion項と呼ばれる拡散項からなる方程式系を扱った。数理生態学分野に現われる方程式であり、数学的に重要な課題は時間大域解が存在するための十分条件を確立すること、および共存解として大きな意味がある正値定常解集合の構造を知ることである。非定常問題に関しては空間次元が1および2の場合に、大域解の存在条件を得ることができた。また、定常問題については同次Dirichlet境界条件下で正値定常解が存在するための十分条件を調べるとともに、その一意性・非一意性を理論的および数値解析的に調べた。その結果、相互作用の係数が一定の条件をみたせば正値解が2個以上存在し得ることが理論的に明らかになった。さらに数値解析によれば、空間次元が1の場合でも半自明解から対称な正値解の分岐、さらに対称分岐解から非対称な共存解の分岐というように、解集合は非常に複雑になることが示された。これは理論的には未解明であり、今後解明していかなければならない。
(2)pラプラシアン項と反応項からなる準線形放物型方程式の解析:pラプラシアン項はその非線形性と退化性があいまって解析に困難を伴う一方、線形拡散とは大きく異なる非線形現象がもたらされる。この研究では定常問題の解集合の構造について、空間次元1の場合のみならず、高次元の場合もかなり詳しく情報が得られるとともに、解の形状についてもフラットハットと呼ばれる退化型拡散特有の性質・形状が調べられた。また、非定常問題に関して解の時間空間的変化についても従来知られていなかった結果を示すことができた。

【研究種目】基盤研究(C)

【研究期間】1997 - 1999

【配分額】3,500千円 (直接経費: 3,500千円)