【研究分野】基礎解析学

【研究領域課題番号】16340035 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

ウェーブレット / ウェーブレットフレーム / 調和解析 / 錯視 / 視覚皮質 / 色覚 / 認知 / 直交関数系 / 偏微分方程式 / 視覚 / フレーム / フレームレット / 視覚情報処理 / 画像処理 / 色彩 / マルチプライヤー / 線形代数 / フィルター・バンク / 明暗の錯視 / カフェウェール錯視 / フィルタバンク

【研究成果の概要】

本研究プロジェクトの主たるテーマは(マルチ)ウェーブレットフレームと調和解析である.代表者の新井はウェーブレットフレームならびにその視覚科学への応用について研究を行った.特に新井は視覚科学の研究に適した新しいウェーブレットフレームを構成した(S.Araiと共同).このウェーブレットフレームは人間の視覚系の計算論的なモデルの構成の基礎となりうるものである.これに加えて新井は画像処理への実用的応用の研究も計画した.さらに新井は色覚の計算論的モデルの構成もし,色に関する錯視の計算機シミュレーションも行った.錯視発生のメカニズムも研究した.特に新井は視覚の離散ウェーブレット解析の新しい一般的なスキームを提唱した.錯視はわれわれの視覚系がどのように視覚情報を処理しているかを解明するための鍵であると考えられている.この理由から100年以上前から錯視に関して多くの研究がなされてきた.今回の研究プログラムにおいて新井は初期視覚のウェーブレットフレームを用いた非線形モデルを構成し,ある種の錯視発生の数学的なメカニズムを解明した.詳しく言えば,新井は人間の脳のV1の機能をモデルにしたフィルタバンクを構成し,そしてそれを用いてわれわれの視覚系がどのように錯視を生み出すかを示す多くの計算機シミュレーションを行った.この研究によって,多くの錯視が数学的な統一的方法で説明することができるようになった.ある画像を新井が考案したシステムに入力し,もし錯視を伴った画像が出力されるならば,それがV1における情報処理によるものであると考えることができる.勘甚は直交関数系の調和解析の研究を行った.たとえば彼はチェザロ作用素のLpそしてHpでの有界性を証明した.中村は解析的波面集合の平滑化作用について研究を行った.吉田は確率微分方程式のサンプリング問題を研究した。立澤は荷重つき関数空間をウェーブレット解析の視点から研究した.

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2004 - 2006

【配分額】8,400千円 (直接経費: 8,400千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】07404003 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

数理物理 / 偏微分方程式 / トモグラフィ / 超函数 / 逆問題 / トモゲラフィ / 複素モーメント問題 / パターン形成 / 非線型非平衡系 / 有限要素法 / セレンディピティ要素 / 双曲型逆問題 / カルレマン評価 / ウェーブレット / 乱流

【研究成果の概要】

偏微分方程式の基礎理論の研究においては,ジェブレイ級の解の接続問題において,接続可能性を方程式の特性帯の重複度とジェブレイ指数に関連付けた新しい結果を得た.
解の漸近挙動・スペクトルの研究では,定数係数線型偏微分方程式が劣指数的増大度の解を持つための条件を追求し,リウビユの定理の拡張を得た.また,枯草菌のコロニーパターン形成過程の数理モデルを提出し,計算機によるシミュレーションにより2次元パターンを再現し,それが相転移的メカニズムで起こることを明らかにした.
さまざまな逆問題の研究では,双曲型方程式に対する逆問題の一意性を係数の正則性を弱めた形で導き,逆問題のリプシッツ安定性を最も望ましい形で示した.また,密度一定の2次元図形について,2方向からの投影データによる再構成問題の一意性が成り立つ場合に,その離散化版の実用的な再構成アルゴリズムを与え,安定なことを示した.一意性が成り立たない場合に適当な重み函数を見出してそれを最大にする解を計算機により探索し,非常に面白いパターンが得られることを発見した.
偏微分方程式の数値解析的研究では,中厚平板のモデルであるライスナー-ミンドラン平板に対して新しい安定化混合型4辺形有限要素を開発し,ロッキングを起こさずに薄板モデルに漸近することを検証した.また,乱流のシェルモデルにおいて,相似則を満たすカオス解を追跡しリヤプノフスペクトルを得,それが波数空間において特徴的な波数の周辺にのみ大きな値を持つことを見出した.このアトラクタ次元が大きな極限での漸近表式を導き,数値計算との良い一致を検証した.更にスケール変換に対して不変な積分作用素に適合する双直交ウェーブレットを構成し,応用を与えた.また,修正8節点セレンディピテイ要素が3次の補間誤差を持つことを示し,具体的な問題に対する有効性を確認した.

【研究種目】基盤研究(A)

【研究期間】1995 - 1998

【配分額】37,700千円 (直接経費: 37,700千円)

【研究分野】解析学

【研究領域課題番号】06302008 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

Fourier解析 / 調和解析 / 関数空間 / ウェイブレット / 複素解析 / 多変数函数論 / 実関数論 / 偏微分方程式 / 多変数フーリエ級数 / 掛谷最大関数 / 直交関数系 / 局所コンパクト群 / 多変数複素解析 / Morrey空間 / Hardy族 / 多変数Bloch関数 / BMO / Szego射影 / Fourier multiplier / 補外定理 / Wavelet

【研究成果の概要】

この総合研究の補助金のほとんどは平成6,7の両年待つに「調和解析セミナー」と題して開催した研究集会のために使った.この調和解析セミナーは過去10年以上にわたって継続されているもので,今回の総合研究も調和解析セミナーに関わっている多くの研究者たちの共同によるものである.Euclid空間上の調和解析や実解析,多変数複素解析関数,偏微分方程式,まどの分野にわたって,多くの研究成果が得られた.以下,主な成果のみを簡単に記す.
Euclid空間上の調和解析:critical indexのBochner-Riesz平均作用素の種々の評価(佐藤秀一);Fourier multiplierの作る空間のBanach代数的性質(猪狩惺,佐藤圓治,勘甚裕一);非負のFourier変換をもつ関数の性質(立沢一哉,他)特異振動積分やLittlewood-Paley型関数の評価(藪田公三,他).実解析:掛谷最大関数の評価(猪狩惺,田中仁).関数空間:Euclid空間や一般にCoifman-Weissの意味の等質型空間(space of homogeneous type)上の種々の関数空間の性質,それらの関数空間での様々な作用素の評価,及びその応用(宮地晶彦,水原昴廣,中井英一,館岡淳,他).Wavelet理論:超局所的なwavelet理論とその応用(森藤紳哉);半単純Lie群の表現に関わる一般的なwavelet理論(河添健).多変数複素解析関数:複素多変数Bloch関数の特徴付け,強疑凸領域の境界で退化する2階楕円型作用素の調和解析,接Cauchy-Riemann方程式,Cauchy-Sego射影の評価,など(新井仁之).偏微分方程式:Euclid空間上の調和解析や実解析の結果や方法を応用した様々の偏微分方程式の研究(新井仁之,倉田和浩).その他:古典的な直交関数系の性質(勘甚裕一,他);フラクタルに関する研究)坂光一, 塩田安信, 他).

【研究種目】総合研究(A)

【研究期間】1994 - 1995

【配分額】2,000千円 (直接経費: 2,000千円)