【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】23340025 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 解析学 / 確率論 / 力学系 / ラプラシアン / 熱核

【研究成果の概要】

本研究においては、フラクタル集合を、その構造に注目し、解析学・幾何学・代数学にわたる広い視点から考察した。特に、フラクタル的な構造をもつ物体の上の波や熱伝導などの物理現象の数学的モデルとして、フラクタル上の確率過程論・ポテンシャル論について、例えば熱の時間的広がりと空間的広がりが分かるための一般的な条件を明らかにした。さらに、空間に無限個の穴がある場合の、平衡状態での熱の分布に関して、その解析学的な性質を考察し、熱分布が滑らかであるための条件を得た。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2011-04-01 - 2014-03-31

【配分額】18,590千円 (直接経費: 14,300千円、間接経費: 4,290千円)

【研究分野】数学一般(含確率論・統計数学)

【研究領域課題番号】17340026 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

フラクタル / 熱核 / 自己相似集合 / パーコレーション / 調和関数 / エネルギー測度 / タイリング / 確率論 / 力学系 / 調和解析

【研究成果の概要】

フラクタル上の解析学と幾何学の関連について、次の2つの成果を得た。
(1) 自己相似集合上の自己相似的なDirichlet formから導かれる拡散過程の熱核(確率推移密度)の漸近共同を記述するのに最適な距離の構成を行った。具体的には、Dirichlet formのresistance rationと測度から決まる自己相似集合上のscaleに関して測度がvolume doublingであることが、熱核の対角成分がLi-Yau型のsub-Gaussian評価をみたすような距離が存在するための必要十分条件であることを示した。Barlow-Bassによって構成された(高次元の)Sierpinski carpet上の拡散過程の自己相似測度に関する時間変更に対応する熱核に対してこの結果をおうようした。そして、熱核の対角成分が、Li-Yau型のsub-Gaussian評価をみたすような距離が存在るための、自己相似測度の重みに関する簡単な必要十分条件を見いだした。
(2)Sierpinski gasket上の標準的なDirichlet formに付随する測度論的なRiemannian structureの研究を行った。その結果、Riemannian volumeに対応するDirichlet formのエネルギー測度がユークリッドの距離に関してvolume doublingとなることを示たた。また、geodesic metricがharmonic Sierpinski gasket上のshortest path metricと一致することを見いだし、上の結果と合わせて、Sierpinski gasket上のブラウン運動のエネルギー測度に関する時間変更の熱核がLi-Yau型のGaussian評価をみたすことを示した。

【研究種目】基盤研究(B)

【研究期間】2005 - 2007

【配分額】16,500千円 (直接経費: 15,300千円、間接経費: 1,200千円)

【研究分野】数学一般

【研究領域課題番号】62540159 (KAKENデータベースで見る）

【研究キーワード】

偶然現象 / カオス的現象 / 確率論 / エルゴード理論 / 力学系 / 統計力学の数学的基礎 / 微分方程式

【研究成果の概要】

偶然現象とカオス的現象を, 確立論, 関数解析学, 微分方程式論, 位相幾何学, 代数学, 数理統計学, 数値解析などの種々の手法を用いてその数学的側面を研究した. またこれらの研究の統計力学, 生物物理学への応用の成果も得られた. これらの成果を得るについては, 他大学の研究者との研究連絡に負う所が多大であった.
具体的には, 1.偶然現象の時間発展を記述する保測変換について, 時間をそろえて同型問題に手がかりが得られた. これはこの分野における新しい問題定期だと思われる. 2.気体力学において基本的なボルツマン方程式の導出は数学的な厳密さがなく問題であったが, 剛体球の場合に古典力学から出発し, リュービル方程式, BBGKY階層の考え方を用いて, ボルツマン方程式の導出の数学的正当化に成功した. これは統計力学の数学的基礎についての大きい貢献であると思われる. 3.一次元格子上の無限粒子系の排他的なランダムウォークについて定常分布を求めた. 4.生態学における個体数の問題に関連するある半線型偏微分方程式の境界値問題の解の存在を示し, その力学系としての性質を調べた. 5.ある種の非線型常微分方程式の解の大域的な漸近挙動を調べた. 6.いくつかの重要な確率分布についてその漸近展開の誤差の中の評価を行った.
その他, 確率論, 微分方程式論, 関数解析学, 数理統計学, 数値解析, 位相幾何学, 代数学などの分野における手法を用いる研究において, 本研究の分担者は一定の成果を得ている.

【研究種目】一般研究(C)

【研究期間】1987

【配分額】1,400千円 (直接経費: 1,400千円)